행렬식(Determinants)(2)

 

연립방정식의 해가 있는지, 없는지, 있다면 얼마나 있는지를 판단하는데 있어 행렬식의 값은 $0$이냐 아니냐가 중요하다. 하지만 적분과 관련된 개념들을 공부하면 수학을 공부하는 내내 행렬식을 마주치게 된다. 특히 미분기하학에서 미분 형식(Differential Forms)이나 쐐기곱(Wedge Product)를 공부하면 수많은 Notation들 속에서 정신을 못차리는 중에 행렬식까지 튀어나와서 사람을 괴롭히곤 한다.

 

적분과 행렬식이 엮이는 이유는 단순하다. 변수변환(Change of Variables)을 시행하여 적분하면 정의역을 쪼개는 방식이 달라지므로 달라지늰 정도를 보정하기 위한 것이다. 미분기하학이나 리만기하학 관점에서는 공간을 해석하는 Frame이 바뀌므로 적분을 통해 어떤 양(Quantity)을 계산하려면 Frame간의 변화정도를 보정해주는 개념이 필요하기 때문이다. 결국 행렬식은 공간에서의 면적소(Area Elements)의 넓이를 의미하기 때문이다.

 

이차원 벡터 $\mathbf{x}_1$와 $\mathbf{x}_2$가 있을 때, 

 

$\text{Det}(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = \begin{vmatrix} | & | \\ \mathbf{x}_1 & \mathbf{x}_2 \\ | & | \end{vmatrix}$

 

는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 넓이와 같다.

 

$\mathbf{x}_1= \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$, $\mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$

 

두 벡터로 만들어 지는 평행사변형의 넓이를 구해보자.

영역을 이렇게 쪼개어 구하면

 

$(a+b)(c+d) - \frac{1}{2}(a+c)d - \frac{1}{2}(a+c)d - \frac{1}{2}(b+d)a - \frac{1}{2}(b+d)a $

 

계산하면 $ad-bc$가 남는다.

 

이런 결과는 우연일까? 즉, 이차원에 한해서는 행렬식의 값이 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 넓이가 우연히 일차한 것일까? 우연이 아니다.

 

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$, $\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}$,  $\mathbf{z} = \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix}$

 

이렇게 삼차원 벡터 세 개를 이용한 행렬식

 

$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}$

 

은 삼차원 공간에서 세 개의 벡터들이 만드는 입체도형 평행육면체(Parallelepiped)의 부피(Volume)이다.

 

 

 

삼차원까지는 조금만 손이 고생하면 알아낼 수 있지만 $n$차원에 대해서는 행렬식의 값이 $n$차원 Hyper Parallelepiped의 Hyper volume임을 어떻게 알 수 있을까?