결합확률분포의 변수변환
이곳에서는 연속확률변수의 경우만 다룬다.(이 경우가 어려우므로) 두 확률변수 $X$와 $Y$를 동시에 고려하는 사건의 결합확률밀도함수(Joint Probability Density Function)를 $f(x,y)$라 하자. 그렇다면 $U=u(X,Y)$, $V=v(X,Y)$ 위와 같이 변수변환을 하게 되면 , 새로운 확률변수 $U$와 $V$의 결합확률밀도함수 $g(u,v)$는 어떻게 구할지 알아보자. 아이디어는 다음과 같다. $X$, $Y$와 $U$, $V$가 함수 관계에 있으므로 $f(x,y)$를 적절히 변형하면 얻을 수 있지 않을까? 그러면 역함수 정리(Inverse Function Theorem)에 의해 $X=h_1(U,V)$와 $Y=h_2(U,V)$를 만족하는 함수 $h_1$과 $h_2$가 존재하..
2026. 4. 12.
치환적분과 Jacobian(4)
이번에는 정말 어려운 경우를 다뤄보자. 다음 이중적분의 값을 구하시오. $\displaystyle \iint_{R} (x^2+y^2)e^{-(x^2-y^2)^2}\sin{(2xy)}dA$ 적분 영역 $R$은 제1사분면에서 다음 네 개의 쌍곡선으로 둘러싸인 닫힌 영역이다. $x^2-y^2=0$, $x^2-y^2=2$, $2xy=\pi /2$, $2xy=\pi$ 치환은 다음과 같이 하자. $u=x^2-y^2$, $v=2xy$ 치환적분을 할 때 필요한 대수적 절차들은 단순하므로 생략하자. 치환에 의해 휘어진 도형은 다음과 같은 파란 직사각형으로 변한다. 그렇다면 $P_1(x_{i-1}, y_{j-1})$, $P_2(x_{i-1}, y_j)$, $P_3(x_i, y_{j-1})$, $P_4(x_i, y_j..
2026. 4. 5.
