녹색 함수!? - Green's Functions

 

서론

 19세기 초 영국에서 초등학교 수준의 교육 밖에 받지 못한 방앗간 노동자 조지 그린은 미분방정식과 물리학 전반에 핵심적으로 쓰이는 중요한 개념 그린 함수를 발견했다. 매우 중요한 개념이지만 그린 함수에 대해서 깊이 배우는 일은 드물고 대부분은 미분방정식을 푸는 방법 중 하나로만 배운다. 하지만 그린 함수의 기초가 되는 아이디어는 물리학과 수학의 분포 이론의 근간을 이루고 있으므로 한 번은 제대로 음미해보는 것도 좋다.

 

 

당시 물리학이 직면한 두 가지 문제들과 조지 그린

 물리학에는 한 지점에 그 힘의 원천이 되는 물질이 존재하여 주변 공간에 있는 모든 대상에게 거리의 제곱에 반비례하는 힘을 가하는 개념들이 있다. 대표적으로 인력(예:중력)과 전기력(예:전하가 다른 전하에게 미치는 힘)이 이에 해당한다. 물체 사이의 인력은 각각의 물체를 질점(mass point)으로 다루어서 해결이 가능했다. 하지만 다음과 같은 두 가지 문제점들이 있다.

 

① 첫번째 문제

 하지만 대전된 물체의 모양은 점으로 축소하기에는 다소 복잡한 것들이 많다. 예를 들어 대전된 유리막대는 점으로 축소하기 보다는 선분이나 직선으로 축소해서 다뤄야 한다. 하지만 부피가 있는 유리막대를 부피가 없는 직선으로 바꿨다 한들 그 직선 위에는 무수히 많은 점들이 있고 각각의 점들에서 전기력을 만들어 내고 있으니 이를 다루기 어려웠다. 

 

② 두번째 문제

 또, 많은 물리 현상을 표현하는 미분방정식들이 선형 미분방정식이라서 비교적 다루기 쉽지만 그래도 매번 각각의 방정식마다 고유의 풀이가 존재하는 경우가 많아서 방정식을 푸는 것이 여간 귀찮은 것이 아니었다.

 

조지 그린은 다음과 같이 문제들을 해결했다. 우선, 주어진 선형 미분방정식을 다음과 같이 표현하자.

 

$L\{u(x)\}=f(x)$

 

외력 $f$에 대해 한 번에 해를 구하지 말고 $f(x)$위의 한 점에 대해서만 방정식의 해를 구해보자. 전체 $f$에 대한 해가 $u$이므로 한 점에 대한 해를 $G$라고 하자. 여기서 한 점에서의 외력을 어떻게 표현할까?에 대해 그린은 디랙 델타 함수(Dirac Delta Function) $\delta (x)$를 이용해서 해결했다.(디랙 델타 함수로 한 점에서의 극히 작은 외력을 모델링한 것은 매우 천재적인 아이디어다) 방정식은 다음과 같다.

 

$L\{G(x)\}=\delta (x)$

 

그런데 전체 외력은 한 점에서의 외력들을 모두 더한 것이므로 

 

$f(x) = \displaystyle \int f(y) \delta (x-y)dy$

 

로 다시 쓸 수 있다. 위 식에 $L\{G(x)\}=\delta (x)$를 대입하면

 

$f(x) = \displaystyle \int f(y) L\{G(x-y)\}dy$

 

$L\{u(x)\}=f(x)$에 위 식을 대입하면

 

$L\{u(x)\} = \displaystyle \int f(y) L\{G(x-y)\}dy$

 

이다. 그런데 $L$은 선형 연산자이므로 적분 밖으로 빼낼 수 있어서

 

$L\{u(x)\} = \displaystyle L \biggl\{ \int f(y)G(x-y)dy \biggr\} $

 

이렇게 된다. 선형 미분방정식의 해가 존재한다면 유일하므로 연산자를 양변에서 소거할 수 있고 다음을 얻게 된다.

 

$u(x) = \displaystyle \int f(y)G(x-y)dy$

 

아직은 한 점에서의 외력에 의한 방정식의 해 $G(x)$를 모르지만 만약 한 점에 대해서 구하는 것은 비교적 쉽기 때문에 $G(x)$는 금방 구할 수 있다. 그러면 원래 방정식의 해는 문제에 주어진 $f$와 방금 구한 $G$를 곱해서 적분하는 것으로 끝난다. 이런 식으로 문제를 풀게 되면 모든 선형 미분방정식은 동일한 방법으로 풀 수 있다. 보통은 방정식에서 우변의 항만 바뀌어도 푸는 방법이 크게 바뀌는데 그린 함수를 이용하면 모든 문제를 푸는 방법이 똑같아진다. 마치 근의 공식을 이용해서 이차방정식을 푸는 것처럼.

 

 

$G(x)$구하기 예시 - 포아송 방정식

 포아송 방정식 $\nabla ^2u=f$은 한 점에서 사방으로 대칭적으로 퍼져나가는 에너지 등을 나타내는 방정식이다. 우변이 $0$이면 라플라스 방정식이 된다. 에너지가 사방으로 대칭적으로 퍼져나가므로 좌표계를 구면좌표계로 바꿔야 방정식이 다루기 쉬워진다. 3차원 공간에서 $r=|x-y|$라 할 때, 원점 이외의 지점에서 $\nabla ^2G=0$이고 구면좌표계로 바꾸면 결과는 다음과 같다. 

 

$\dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{dr}\left( r^2\dfrac{dG}{dr} \right) = 0$

 

이를 풀면 $G(r)=\dfrac{A}{r}+B$이다.

 

① $r \rightarrow \infty$이면 $G \rightarrow 0$이어야 하므로 $B=0$이고

② 발산 정리(Divergence Theorem)에 의해 $\displaystyle \int_{V} \nabla ^2GdV=1 $이므로 $A=-\dfrac{1}{4\pi}$이다.

 

따라서 $G(x,y)=-\dfrac{1}{4\pi|x-y|}$이므로 포아송 방정식의 해는 다음과 같다.

 

$u(x,y) = \displaystyle \int -\dfrac{f(y)}{4\pi|x-y|} dy$

 

위 과정에서 보듯, $G$를 구하려면 경계조건이 중요하다. 실제로 같은 현상을 나타내는 방정식이더라도 경계조건이 크게 바뀌면 그린 함수 $G$가 바뀐다. 하지만 상황이 비슷하고 경계조건도 비슷하다면? 그러면 그린 함수 $G$는 바뀌지 않는다. 미분방정식이 쉬워지는 순간이다.