몇 개를 뽑아야 다 모을 수 있을까? - 확률형 수집 게임 이야기

 
'피크민 블룸'이라는 게임을 작년에 알게 되어 꾸준히 플레이하고 있다. 치열한 경쟁이 기반인 되는 대부분의 게임들을 좋아하지 않아서 힐링 게임이지만 확률형 수집게임이라 수집욕을 자극하여 자꾸만 플레이하게 되는 게임이다. 이 게임에는 '모종'이라는 것이 있다. 플레이 도중 모종을 획득하여 자신의 밭에 심은 후 각 모종별로 요구하는 걸음 수를 채우면 해당 모종에서 피크민을 한 마리 얻을 수 있다.

 
피크민은 최근 업데이트를 통해 여덟 종류가 있다. 그리고 각 카테고리별로 고유의 장식을 단 피크민(이하 '데코피크민'이라 한다.)이 있다. 이해를 돕기 위해 사진을 한 장 첨부하였다.
 

 
이렇게 각 카테고리별로 데코피크민을 모으는 재미가 쏠쏠한데, 매달 이벤트에서 얻을 수 있는 특별한 모종이 있다. 바로 '금 모종'이다. 금 모종은 100걸음만 채워도 바로 피크민을 뽑을 수 있어 성취감이 크다. 그런데 다른 모종들과 달리 금 모종은 뽑기 전까지 어떤 색상의 피크민인지 알 수가 없다.
 

그렇다면 한 카테고리 내에서 여덟가지 색상의 피크민을 얻으려면 금 모종이 몇개나 필요할까?(큰 모종도 포함되나 표현의 편의를 위해 금 모종에 한해서만 이야기 하겠다)
 
운이 좋다면 여덟개의 금 모종에서 각각 서로 다른 색상의 피크민이 나올 것이고 운이 정말 나쁘다면 열 개의 금 모종에서 모두 같은 색이 나올 것이다. 실제로 그런 경우를 본 적이 있다. 이런 불확실성을 다루는 방법 중의 하나는 기댓값(평균)이다. 그래서 과연 몇 개의 금 모종을 키워야 모든 색상을 다 모을 가능성이 큰 지 기댓값을 통해 알아보자.
 
 
 
우선 확률 변수를 정의하자.
 

$N_1$은 첫번째 종류의 피크민이 나오는데 필요한 모종의 갯수
$N_2$은 두번째 종류의 피크민이 나오는데 필요한 모종의 갯수
$N_3$은 세번째 종류의 피크민이 나오는데 필요한 모종의 갯수
$N_4$은 네번째 종류의 피크민이 나오는데 필요한 모종의 갯수
$N_5$은 다섯번째 종류의 피크민이 나오는데 필요한 모종의 갯수
$N_6$은 여섯번째 종류의 피크민이 나오는데 필요한 모종의 갯수
$N_7$은 일곱번째 종류의 피크민이 나오는데 필요한 모종의 갯수
$N_8$은 여덟번째 종류의 피크민이 나오는데 필요한 모종의 갯수

 
그러면 $8$종류의 피크민을 최초로 다 모을때까지의 필요한 모종의 갯수 $X$는 다음과 같이 쓸 수 있다.
 

$X=N_1+N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7+N_8$

 
우리가 원하는 기댓값은
 

$E[X]=E[N_1+N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7+N_8]$
$=E[N_1]+E[N_2]+E[N_3]+E[N_4]+E[N_5]+E[N_6]+E[N_7]+E[N_8]$

 
이다.
 
아직 아무런 피크민이 없을 때 금 모종을 까면 무조건 하나 성공하니까 첫번째 종류의 피크민을 얻을 확률은 $1$이고 나머지는 아래와 같다.
 

두번째 종류의 피크민을 얻을 확률은 $7/8$
세번째 종류의 피크민을 얻을 확률은 $6/8$
네번째 종류의 피크민을 얻을 확률은 $5/8$
다섯번째 종류의 피크민을 얻을 확률은 $4/8$
여섯번째 종류의 피크민을 얻을 확률은 $3/8$
일곱번째 종류의 피크민을 얻을 확률은 $2/8$
여덟번째 종류의 피크민을 얻을 확률은 $1/8$

 
최초 성공시까지 필요한 시도 횟수는 기하 분포(Geometric distribution)을 따른다. 1회 시행시 성공 확률이 $p$인 기하 분포를 따르는 확률 변수의 기댓값은 $1/p$임이 알려져 있다.
 
따라서
 

$E[N_1]=1$
$E[N_2]=8/7$
$E[N_3]=8/6$
$E[N_4]=8/5$
$E[N_5]=8/4$
$E[N_6]=8/3$
$E[N_7]=8/2$
$E[N_8]=8/1$

 
그러므로 기댓값은 
 

$E[X] = 8 \left( \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{1} \right) \approx 8 \times 2.717 = 21.736$

 
이다. 따라서 적어도 22개는 까야 8개를 모을 가능성이 높다. 어쩐지 너무 힘들더라..

 

 

결론

모아야 하는 종류가 $n$개일 때, $n$개를 모두 얻기 위해 필요한 뽑기 아이템 갯수의 기댓값은

 

$n \times \left( \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n-1} + \dfrac{1}{n-2} + \cdots + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{1} \right)$

 

이다.

 

수학 전공자라면 괄호 속의 분수들의 합이 조화급수(Harmonic Series)의 합이므로 $n \cdot H_n$으로 써도 좋다.