확률 P(X=x) vs 함수 f(x)

 

도입

주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 나타내는 확률변수를 $X$라 하자.

주사위를 한 번 던졌을 때, 나오는 눈이 3일 확률을 구하시오.

 

위와 같은 문제를 풀 때, 구해야 하는 확률을 기호로는 다음과 같이 쓴다.

 

$P(X=3)$

 

함수 기호와 비슷하지만 표기가 좀 이상하다는 것을 알 수 있다. 그냥 $P(3)$이라고 하면 안 될까?

 

 

$P$의 정체

 $P$는 무언가를 받아서 0과 1 사이의 실수를 내뱉는다는 점에서 함수의 정의를 충족한다. 다만, 우리가 다루는 대부분의 함수들의 정의역이 '수'인 것과는 달리 $P$의 정의역은 문장 집합이다. 그래서 다음과 같은 표기도 가능하다.

 

$P(\text{내일 비가 온다})$

 

그러면 $P$는 받아들인 문장의 가능성을 0과 1 사이의 수로 바꿔주는 함수인 것이다.

 

 

응용

 그래서 다음과 같은 것도 가능하다.

 

주사위를 던져서 나온 눈의 수가 이차방정식 $x^2-8x+12=0$의 해일 확률을 구하여라.

 

그러면 보통은 위 이차방정식을 풀어서 $x=2, 6$이므로 답을 $1/3$이라 하겠지만, 기호로 멋있게 나타내면

 

$P(X^2-8X+12=0)=P(X=2, 6)=1/3$

 

이렇게 쓸 수 있다.