지시 확률 변수(1)

 

앞서 봤듯 확률변수란 어떤 값에 대해서 0과 1사이의 수를 가지고 있는 일종의 함수이다. 그래서 가능한 종류는 무수히 많은데, 아주 단순하면서도 특정 문제들을 쉽게 풀도록 도와주는 마법같은 확률 변수가 있다. 바로 지시 확률 변수(Indicator Random Variables)이다. 정의는 다음과 같다.

 

확률 변수 $I$의 가능한 값은 $0$ 또는 $1$이고 그에 따른 확률을 $P(I=1)=p$와 $P(I=0)=1-p$라 하자. 이와 같은 확률 변수를 지시 확률 변수라 한다.

 

음..? 어디서 본 기억이 날 수도 있겠다. 그렇다. 이산 확률 분포 중에 베르누이 분포를 따르는 확률 변수를 지시 확률 변수라고 부르기도 한다. 그렇다면 굳이 이름을 하나 더 만들어서 우리에게 학습 부담을 주는 것일까? 그럴 수도 있겠지만 '베르누이 분포를 따르는 확률 변수'보다는 '지시 확률 변수'라는 말이 더 사용하기 쉽고 (곧 보겠지만) 의미가 명확하기 때문에 사용하기 좋다.

 

지시 확률 변수의 정의에서 보듯, 지시 확률 변수는 어떤 사건이 일어날 경우($I=1$)의 확률이 $p$이고 일어나지 않는 경우($I =0$)의 확률이 $1-p$인 상황을 가장 간단하게 표현한 것이다.

 

예를 들어보자.

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예1) 어떤 왜곡된 동전 1개를 던졌을 때, 앞면이 나올 확률이 $1/3$이다. 3회 던졌을 때의 앞면이 나오는 횟수의 기댓값을 구하여라. (각각의 시행은 독립이다.)

 

보통의 방법)

왜곡된 동전을 던지기를 3회 시행한 결과를 나타내는 확률 변수를 $X$라 하자. 앞면 $H$이 나올 확률을 $1/3$, 뒷면 $T$가 나올 확률을 $2/3$이므로 기댓값은 다음과 같다.

 

$E[X] = 0 \cdot P(X=1) + 1 \cdot P(X=1) +2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3)$

 

$ P(X=k) = _3C_k \left( \dfrac{1}{3} \right) ^k \left( \dfrac{2}{3} \right) ^{3-k}$임을 이용하면 $E[X] = 1$이다.

 

지시 확률 변수 방법)

왜곡된 동전을 던지기를 3회 시행한 결과를 나타내는 확률 변수를 X라 하자.(사실 필요는 없지만 이해를 돕기 위함) 첫번째 시행의 결과를 나타내는 확률 변수를 $I_1$이라 하자. 즉, 첫번째 시행에 앞면이 나오면 $I_1=1$ 뒷면이 나오면 $I_1=0$이다. 이와 같은 방식으로 $I_2$와 $I_3$를 정의하자. 그러면 $X=I_1+I_2+I_3$로 표현할 수 있다(비교적 복잡한 확률 변수 $X$를 단순한 확률 변수들의 합으로 표현했다는 것이 중요하다)

 

기댓값의 선형성에 의해

 

$E[X]=E[I_1+I_2+I_3]=E[I_1]+E[I_2]+E[I_3]$

 

이고 각 시행은 독립이므로

 

$E[I_1]=E[I_2]=E[I_3]$

 

이다. 따라서

 

$E[X]=3E[I_1]$

 

으로 쓸 수 있다. 이제 $E[I_1]$을 구해보자.

 

$E[I_1] = 0 \cdot P(I_1=0) + 1 \cdot P(I_1=1) = 1/3$

 

이므로 $E[X]=3\times 1/3 = 1$이다.

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이것만 보면 굳이 더 어렵게 푼 것 아닐까 싶지만 지시 확률 변수의 힘은 복잡한 상황에서 체감할 수 있다.