치환적분과 Jacobian(3)

 

이번에는 좀 더 복잡한 치환을 알아보자.

 

$\displaystyle \iint_{R} (x+y)^2e^{x-y}dxdy$

 

단, 적분 영역 $R$은 네 직선 $x+y=0, x+y=2, x-y=0, x-y=2$로 둘러싸인 평행사변형의 내부이다.

 

주어진 영역 $R$은 $x$축과 $y$축을 기준으로 보면 기울어진 정사각형이다. $x$와 $y$를 다음과 같이 분할했다고 하자.

 

$0=x_0 < x_1 < \cdots < x_i < \cdots < x_n = 2$

$-1=y_0 < y_1 < \cdots < y_j < \cdots < y_m = 1$

 

두 축을 분할하여 만들어지는 작은 조각들은 더 이상 사각형이 아닐 수도 있다.

 

 

$(x_i, y_j$가 더 이상 영역 내에 존재하지 않을 수도 있어서 경계를 포함하는 조각들을 적분에 사용하기 까다롭다.(물론 불가능한 것은 아니다) 경계 위의 점의 $x$좌표와 $y$좌표는 직선의 방정식을 만족하느라 서로 종속이기 때문에 정적분의 난이도가 올라간다.

 

두 변수 사이의 종속성을 해결하기 위해 변수 변환을 해보자. 가장 좋은 방법은 종속성을 만들게 된 경계선에 평행한 방식으로 치환을 하는 것이다. 즉, 

 

$u = x + y$, $v = x - y$

 

이렇게 두는 것이다. 치환적분을 할 때 필요한 대수적 절차들은 단순하므로 생략하자.

 

그렇다면 $P_1(x_{i-1}, y_{j-1})$, $P_2(x_{i-1}, y_j)$, $P_3(x_i, y_{j-1})$, $P_4(x_i, y_j)$ 네 점으로 만들어지는 직사각형이 변수변환에 의해 어떤 모양으로 변하는지 알아보자. 우선 변수변환 방정식에 의해

 

$Q_1(x_{i-1} + y_{j-1}, x_{i-1} - y_{j-1})$

$Q_2(x_{i-1} + y_{j}, x_{i-1} - y_{j})$

$Q_3(x_{i} + y_{j-1}, x_{i} - y_{j-1})$

$Q_4(x_{i} + y_{j}, x_{i} - y_{j})$

 

이렇게 되고 평행사변형이 된다.

 

좌상단의 정사각형이 우하단의 평행사변형이 되었다.

 

변수변환 전에는 직사각형 $P_1P_2P_3P_4$였지만 후에는 평행사변형 $Q_1Q_2Q_3Q_4$가 되었다. 미분기하학의 내용이지만 표현상 편의를 위해 두 벡터가 만드는 평행사변형을 표현하는 방법을 써보면

 

$\overrightarrow{P_2P_1} \wedge \overrightarrow{P_3P_1}$은 변수변환에 의해 $\overrightarrow{Q_2Q_1} \wedge \overrightarrow{Q_3Q_1}$으로 바뀐다.

 

모양이 바뀌는 것은 찾았다. 그렇다면 넓이는 어떻게 바뀔까? 만약 넓이가 2배가 된다면 변수변환을 통해 적분할 때는 $dx$를 $du$로 단순히 바꿨다가는 원하는 넓이 2배를 얻게 되므로 1/2배 해주는 작업을 거쳐야 한다.

 

평행사변형 $\overrightarrow{Q_2Q_1} \wedge \overrightarrow{Q_3Q_1}$의 넓이를 구하려면 선형대수학의 판별식(Determinant)를 사용하면 된다.

 

$\begin{align} |\overrightarrow{Q_2Q_1} \wedge \overrightarrow{Q_3Q_1}| &= |(y_{j} - y_{j-1}, -y_j + y_{j-1}) \wedge (x_i - x_{i-1}, x_i - x_{i-1})| \\ &= |(\Delta y_j, -\Delta y_j) \wedge (\Delta x_i, \Delta x_i)| \\ &= \begin{vmatrix} \Delta y_j & -\Delta y_j \\ \Delta x_i & \Delta x_i \end{vmatrix} \\ &= 2\Delta x_i \Delta y_j \end{align}$

 

이므로 새로운 평행사변형의 넓이는 원래 직사각형 넓이의 2배임을 알 수 있다.

 

따라서 

 

$\displaystyle \iint_{R} (x+y)e^{x-y}dxdy = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \dfrac{1}{2}ue^{v}dudv$

 

이다.

 

지금까지는 순수 노가다를 통해서 변수변환에 의해 작은 조각의 면적이 어떻게 변하는지 직접 유도했지만 아주 복잡한 경우에 어떻게 될지 규칙을 찾지는 못했다.