치환적분과 Jacobian(4)

 

이번에는 정말 어려운 경우를 다뤄보자.

 

다음 이중적분의 값을 구하시오.

 

$\displaystyle \iint_{R} (x^2+y^2)e^{-(x^2-y^2)^2}\sin{(2xy)}dA$

 

적분 영역 $R$은 제1사분면에서 다음 네 개의 쌍곡선으로 둘러싸인 닫힌 영역이다.

 

$x^2-y^2=0$, $x^2-y^2=2$, $2xy=\pi /2$, $2xy=\pi$

 

 

치환은 다음과 같이 하자.

 

$u=x^2-y^2$, $v=2xy$

 

치환적분을 할 때 필요한 대수적 절차들은 단순하므로 생략하자. 치환에 의해 휘어진 도형은 다음과 같은 파란 직사각형으로 변한다.

 

 

 

그렇다면 $P_1(x_{i-1}, y_{j-1})$, $P_2(x_{i-1}, y_j)$, $P_3(x_i, y_{j-1})$, $P_4(x_i, y_j)$ 네 점으로 만들어지는 직사각형이 변수변환에 의해 어떤 모양으로 변하는지 알아보자. 우선 변수변환 방정식에 의해

 

$Q_1(x_{i-1}^2 - y_{j-1}^2, 2x_{i-1}y_{j-1})$

$Q_2(x_{i-1}^2 - y_{j}^2, 2x_{i-1}y_{j})$

$Q_3(x_{i}^2 - y_{j-1}^2, 2x_{i}y_{j-1})$

$Q_4(x_{i}^2 - y_{j}^2, 2x_{i}y_{j})$

 

이렇게 되고 더 이상 평행사변형이 아니다. 녹색 직사각형이 보라색 사각형이 되었다. (이 사각형은 평행사변형이 아니다)

 

 

이렇게 된다. 하지만 비선형 식을 계속 사용하기 부담스러우므로 기호로 축약해서 나타내면

 

$Q_1(u(x_{i-1}, y_{j-1}), v(x_{i-1}, y_{j-1}))$

$Q_2(u(x_{i-1}, y_{j}), v(x_{i-1}, y_{j}))$

$Q_3(u(x_{i}, y_{j-1}), v(x_{i}, y_{j-1}))$

$Q_4(u(x_{i}, y_{j}), v(x_{i}, y_{j}))$

 

여기서 평행사변형이 아닌 보라색 직사각형의 넓이를 정확하게 구하지 말고 평행사변형이라고 생각하고 근사(Approximation)을 하자.(이게 바로 미적분학의 기본 정신이다) 평행사변형이라 생각하도 평행사변형을 만드는 두 벡터를 구하면

 

$\overrightarrow{Q_2Q_1} = (u(x_{i-1},y_j) - u(x_{i-1}, y_{j-1}), v(x_{i-1},y_j) - v(x_{i-1},y_{j-1}))$

$\overrightarrow{Q_3Q_1} = (u(x_{i},y_{j-1}) - u(x_{i-1}, y_{j-1}), v(x_{i},y_{j-1}) - v(x_{i-1},y_{j-1}))$

 

이 두 벡터로 만들어지는 평행사변형을 기호로 나타내면

 

$\overrightarrow{Q_1Q_2} \wedge \overrightarrow{Q_1Q_3}$

 

이다. (암담하지만) 이 평행사변형의 넓이를 구해보면

 

$\begin{align} |\overrightarrow{Q_2Q_1} \wedge \overrightarrow{Q_3Q_1}| &= \begin{vmatrix} \ u(x_{i-1},y_j) - u(x_{i-1}, y_{j-1}) & v(x_{i-1},y_j) - v(x_{i-1},y_{j-1}) \\ u(x_{i},y_{j-1}) - u(x_{i-1}, y_{j-1}) & v(x_{i},y_{j-1}) - v(x_{i-1},y_{j-1}) \end{vmatrix} \end{align}$

 

이대로 계산하기 힘드니까 다시 한 번 더 미적분학의 정수(선형근사)를 빌리면

 

$u(x_{i-1},y_{j}) - u(x_{i-1},y_{j-1}) \approx \dfrac{\partial u}{\partial y}|y_j-y_{j-1}| = \dfrac{\partial u}{\partial y}\Delta y_j$

$v(x_{i-1},y_{j}) - v(x_{i-1},y_{j-1}) \approx \dfrac{\partial v}{\partial y}|y_j-y_{j-1}| = \dfrac{\partial v}{\partial y}\Delta y_j$

$u(x_{i},y_{j-1}) - u(x_{i-1},y_{j-1}) \approx \dfrac{\partial u}{\partial x}|x_i-x_{i-1}| = \dfrac{\partial u}{\partial x}\Delta x_i$

$u(x_{i},y_{j-1}) - u(x_{i-1},y_{j-1}) \approx \dfrac{\partial v}{\partial x}|x_i-x_{i-1}| = \dfrac{\partial v}{\partial x}\Delta x_i$

 

$ \begin{align} \begin{vmatrix} \ \dfrac{\partial u}{\partial y}\Delta y_j & \dfrac{\partial v}{\partial y}\Delta y_j \\ \dfrac{\partial u}{\partial x}\Delta x_i & \dfrac{\partial v}{\partial x}\Delta x_i \end{vmatrix} &= \left|\dfrac{\partial u}{\partial y}\dfrac{\partial v}{\partial x} - \dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{\partial v}{\partial y}\right|\Delta x_i \Delta y_j \end{align} $

 

즉, 변수 변환에 의해서 작은 조각은 원래 넓이 $\Delta x \Delta y$보다 $\left|\dfrac{\partial u}{\partial y}\dfrac{\partial v}{\partial x} - \dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{\partial v}{\partial y}\right|$배로 변하게 된다. 따라서 올바른 정적분 값을 얻을려면 위에서 얻은 괴상한 식의 역수를 곱해야 한다.

 

각각의 편미분은 

 

$\dfrac{\partial u}{\partial x} = 2x$, $\dfrac{\partial u}{\partial y} = -2y$

$\dfrac{\partial v}{\partial x} = 2y$. $\dfrac{\partial v}{\partial y} = 2x$

 

이므로 판별식 계산의 결과는 $4(x^2+y^2)\Delta x \Delta y$. 따라서

 

$\displaystyle \iint_{R} (x^2+y^2)e^{-(x^2-y^2)^2}\sin{(2xy)}dA = \int_{0}^{2} \int_{\pi/2}^{\pi} \dfrac{1}{4}e^{-u^2}\sin{(v)}dudv$

 

Fubini 정리에 따라

 

$\displaystyle \int_{0}^{2} e^{-u^2}du \cdot \int_{\pi/2}^{\pi} \sin{(v)}dv$

 

이다.(물론 지수 함수 부분은 손계산이 불가능하지만)

 

여기서 변수 변환에 의해 적분 영역을 잘게 자른 직사각형의 넓이가 얼마나 왜곡되는지를 나타내는 인자(Factor)를 Jacobian이라 부르고 표기를 다음과 같이 한다.

 

$ J(u,v) = \left| \dfrac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} \right|$

 

즉, 이중적분의 치환적분을 일반화화면 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$\displaystyle \iint_{A} f(x,y)dA = \iint_{B} g(u,v) \left| \dfrac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} \right|^{-1} dudv$

 

(실제 적분은 아래 그림처럼 영역을 나누어 한 것임)

 

 

 

선형 근사를 두 번이나 사용했는데...

변수 변환에 의해 직사각형이 (평행사변형조차 아닌) 사각형이 되었을 때, 평행사변형으로 근사하고, 이 평행사변형의 넓이조차 선형근사했으므로 실제 값과의 오차가 무시할 수 없을 것 같다. 하지만 이 오차들은 적분영역을 잘게 쪼갤수록 $0$으로 수렴함이 증명되어 있다.

 

오히려 우리가 걱정할 것은 Jacobian이 $0$이 되면 변수변환을 사용할 수 없다는 것이다.