지시 확률 변수(3)

 

이번에는 좀 더 당연하지 않은 예제를 보자. 이 예제는 Sheldon M. Ross의 Introduction to Probability Models 10ed에 나오는 예제이다.

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예4) 여섯 종류의 쿠폰이 있다. 순서대로 하나씩 모두 세 개의 쿠폰을 뽑는다고 하자.(복원추출로 시행한다) 뽑은 세 장의 쿠폰들 중에서 서로 다른 쿠폰 종류의 수를 $X$라 할 때, $E[X]$를 구하여라. (각 쿠폰이 뽑힐 가능성은 동일하다.)

 

풀이1) 조합론적 풀이

세 장의 쿠폰을 뽑을 수 있는 경우의 수는 $6^3=216$가지

$X=1$인 경우의 수는 $_6C_1=6$가지

$X=2$인 경우의 수는 $_6C_2\times 6=90$가지

$X=3$인 경우의 수는 $_6C_3\times 3=120$가지

따라서

 

$P(X=1)=\dfrac{6}{216}$, $P(X=2)=\dfrac{90}{216}$, $P(X=3)=\dfrac{120}{216}$

 

$E[X]=1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3)$

 

계산하면 기댓값은 $\dfrac{91}{36}$이다.

 

풀이2) 지시 확률 변수 풀이

$k$번째 종류의 쿠폰이 뽑히는 사건을 $I_k$라 하면

 

$X = \displaystyle \sum_{k=1}^{6} I_k$

 

이므로

 

$E[X] = \displaystyle E\left[\sum_{k=1}^{6} I_k\right] = \sum_{k=1}^{6}E[I_k]$

 

이다. $E[I_k]=0 \cdot P(i_k=0) + 1 \cdot P(I_k=1) = P(I_k=1)$이다. $P(I_k=1)$은 직접 구하기 어려워서 여사건을 이용하면

 

$P(I_k=1)=1-P(I_k=0)$이고 $P(I_k=0)=\left( \dfrac{5}{6} \right)^3$이므로 $ P(I_k) = 1 - \left( \dfrac{24}{25} \right)^3 $

 

이므로 

 

$E[X] = 6 \times \left\{ 1 - \left( \dfrac{5}{6} \right)^3 \right\}$

 

계산하면 $\dfrac{91}{36}$이다.

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예5) 예4에서 쿠폰은 25종류에 10개를 순차적으로 뽑을 때 기댓값을 구하시오.

 

과연 조합론적인 풀이를 할 수 있을까? 절대 못한다. 이 문제는 쉬워보이지만 $X=2$인 경우만 해도 경우의 수가 매우 많다. 한장이 아닌 한 번이라도 나오면 카운트되기 때문. 하지만 지시 확률 변수라면 해낼 수 있다.

 

$E[X] = \displaystyle E\left[ \sum_{k=1}^{25} I_k \right] = \sum_{k=1}^{25} E[I_k] = 25 \times \left\{ 1 - \left( \dfrac{24}{25} \right)^{10} \right\}$

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지시 확률 변수의 단순함과 기댓값의 선형성이 만나서 종속성을 뭉개버리는 이 아름다운 순간을 보라. 하지만 세상에 공짜는 없는 법. 이 방법을 이해하기 어려운 지점이 있다.