지시 확률 변수(2)

 

예2) 어떤 왜곡된 동전 1개를 던졌을 때, 앞면이 나올 확률이 $1/3$이다. 100회 던졌을 때의 앞면이 나오는 횟수의 기댓값을 구하여라. (각각의 시행은 독립이다.)

 

보통의 방법이라면

 

$E[X] = \displaystyle \sum_{k=0}^{100} k P(X=k)$

 

$P(X=k) = _{100}C_k \left( \dfrac{1}{3} \right)^k \left( \dfrac{2}{3} \right)^{100-k} $

 

이들을 이용해서 계산해야 한다. 물론 우리는 이항 분포(Binomial Distribution)을 알기 때문에 위 계산을 생략하고 바로 정답을 맞힐 수 있지만 만약 이항 분포를 모른다면 어떻게 하겠는가? 여기서 지시 확률 변수의 막강한 능력이 발휘된다.

 

$k$번째 시행의 결과를 $I_k$라 하면 $X=\displaystyle \sum_{k=0}^{100}I_k$이므로

 

$E[X]=\displaystyle E\left[\sum_{k=0}^{100}I_k\right] = \sum_{k=0}^{100}E[I_k]$

 

임을 알 수 있다. '지시 확률 변수(1)'에서 봤듯 $E[I_1] = E[I_2] = \cdots = E[I_100]$이므로

 

$E[X] = 100 E[I_1]$

 

이다. 그리고 $E[I_1]=1/3$이므로 $E[X]=100/3$이다.

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그렇다면 또 다른 예시를 보자. 이 예시는 지시 확률 변수에 대한 수업에서 거의 빠지지 않고 나오는 유명한 문제다.

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예3) 큰 집에서 파티가 열렸고 25명의 모자를 쓴 참석자들이 파티에 참석했다. 집 구석에 참석자들이 자신의 모자를 마구잡이로 던져서 25개의 모자가 쌓여있다. 집에 돌아갈 때, 참석자들이 임의로 모자를 한 개 선택할 때 자신의 모자를 선택하는 사람의 수의 기댓값을 구하시오.

 

고등학교에서 배운 방법으로 풀어 보아라. 얼마안가 감히 시도할 엄두조차 내지 못한다. $P[X=1]$을 구하는 것조차 사실상 불가능하다. 그렇다면 과연 지시 확률 변수는 어떨까?

 

한 사람이 자신의 모자를 찾는 확률 변수를 $I$라 하자. 

 

$E[I] = 0 \cdot P(I=0) + 1 \cdot P(I=1) = P(I=1) = 1/25$

 

이다. 이제 25명이 모자를 선택한 결과는 $X=I_1+I_2+\cdots+I_{25}$라 할 수 있다. (여기서 $I_k$는 $k$번째 사람의 시행 결과이다.) 그러면 기댓값은

 

$E[X] = \displaystyle E \left[ \sum_{k=0}^{25} I_k \right] = \sum_{k=1}^{25} E[I_k] =25\cdot 1/25 = 1$

 

이다.

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처음의 방법으로 $P[X=1]$와 같은 확률을 직접 계산하려고 하면 앞 사람이 모자 선택 시행이 뒷 사람의 시행 결과에 영향을 미치기 때문에(종속) 계산이 복잡해진다. 지시 확률 변수 $I_i$와 $I_j$도 종속임은 마찬가지다. 하지만 기댓값의 선형성이라는 막강함 앞에 확률 변수의 종속성이 아무런 힘을 내지 못한다.