치환적분과 Jacobian(1)

 

도입

 

$\displaystyle \int_{0}^{1} x^5 dx$

 

위 정적분을 계산해야 한다. 너무나도 쉽게 $1/6$임을 알 수 있지만 다음과 같이 치환적분을 해보자.

 

$u=x^2$이라 하면 $x=0$일 때 $u=0$이고 $x=1$일 때 $u=1$이므로 적분 구간은 동일하다(늘 그런 것은 아니고 주어진 범위에서 단조함수이기 때문에)

 

$x^5=(x^2)^2x$이므로 $x^5=u^2x$인데 주어진 범위에서 $x=\sqrt{u}$이므로 $x=u^2\sqrt{u}$로 바꿀 수 있다. 그러면 정적분은 다음과 같이 바꿀 수 있다.

 

$\displaystyle \int_{0}^{1} x^5 dx = \int_{0}^{1} u^2\sqrt{u} dx$

 

여기서 문제는 $dx$는 과연 어떻게 바꾸어야 하는지가 명확하지 않다. 왜냐면 이전까지 $x$와 관련된 것들을 $u$와 관련된 것들로 바꾸는 것은 대수적인 절차들(Algebraic procedures)이었기 때문에 금방할 수 있었지만 $dx$와 $du$는 순수하게 대수적인 절차로는 구할 수 없기 때문이다.(해석적 절차가 필요하다)

 

대부분 고등학교 교육과정에서 방법만 익혔지 원리는 잘 모르기에 이 글에서는 정적분의 원래 정의로 돌아가서 접근해보겠다.

 

 

정적분의 정의부터 시작하기

정적분의 정의는 무한 급수이므로 다음과 같이 쓰자.

 

$\displaystyle \int_{0}^{1} x^5 dx = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}x_{k}^5 \Delta x_k$

 

(단, $0 = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_k < \cdots < x_n = 1$이고 $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$)

 

그런데 $u=x^2$으로 변환한다면 과연 $\Delta u_k = \Delta x_k$일까?

 

$\Delta u_k = u_k - u_{k-1} = x_k^2 - x_{k-1}^2$이므로 $\Delta u_k \neq \Delta x_k$임은 확실하다.

 

그렇다면 과연 $\Delta u_k$와 $\Delta x_k$는 무슨 관계일까? 이에 대해 미적분학은 어떻게 답하는지 보자.

 

그전에 여러분은 미적분학의 가장 핵심적인 아이디어가 뭐라고 생각하는가? 어떤 사람들은 미분을 단순히 잘게 쪼개고 적분은 잘게 쪼갠 것을 더한 것이라는 식으로 알고 있지만 미적분학의 핵심 아이디어는 선형근사(Linear Approximation)이다.

 

$\Delta u_k = u_k - u_{k-1} = x_k^2 - x_{k-1}^2 \approx 2x_k(x_k - x_{k-1})$

 

가장 오른쪽에 나온 식은 $u$의 변화량은 변화율과 $x$의 변화량의 곱을 이용하되 $\Delta x_k$가 충분히 작으므로 $x=x_k$에서의 미분계수로 대체한 것이다.

 

따라서 $\Delta u_k \approx 2x_k \Delta x_k$라는 관계식을 얻을 수 있다.

 

$\Delta x_k \approx \dfrac{\Delta u_k}{2\sqrt{u_k}}$

 

이므로 

 

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}x_{k}^5\Delta x_k = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^{n} u_k^2\sqrt{u_k} \dfrac{\Delta u_k}{2\sqrt{u_k}} = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{u_k^2}{2} \Delta u_k$

 

이렇게 된다. ($n \rightarrow \infty$에 의해 $\approx$기호는 $=$가 된다.) 따라서 정적분은 다음과 같다.

 

$\displaystyle \int_{0}^{1} x^5 dx = \int_{0}^{1} \dfrac{u^2}{2} du = 1/6 $

 

 

해석적 절차는 무엇이었는가?

우리는 $dx$와 $du$의 관계를 구하기 위해 중간에 선형근사를 했다. 선형근사를 위해 사용한 수학적인 이론은 '평균값 정리(Mean Value Theorem, MVT)'이다. 바로 이 선형근사 작업이 해석적 절차이다.

 

 

그렇다면 $\Delta u_k \approx 2x_k \Delta x_k$에서 $2x_k$는 무슨 뜻인가?

상황을 더 단순하게 해보자. 처음에 정적분할 때, 구간 $[0,1]$을 $N$개의 균등한 서브구간들(Subintervals)로 나누면 구간은 다음과 같다.

 

$0 < \frac{1}{n} < \frac{2}{n} < \cdots < \frac{k}{n} < \cdots < \frac{n}{n} = 1$

 

이고 이 경우 $\Delta x_k = \frac{1}{n}$이다. 그리고 $u_k$는 다음과 같다.

 

$0 < \frac{1}{n^2} < \frac{4}{n^2} < \cdots < \frac{k^2}{n^2} < \cdots < \frac{n^2}{n^2} = 1$

 

이므로 $\Delta u_k = \frac{k^2}{n^2} - \frac{(k-1)^2}{n^2} = \frac{2k-1}{n^2}$이다. 그렇다면 정의역에서의 서브구간의 길이와 그에 대응하는 치역에서의 서브구간의 길이의 비율은 어떻게 되는지 보자.

 

$\dfrac{\Delta u_k}{\Delta x_k} = \dfrac{(2k-1)/n^2}{1/n} = \dfrac{2k-1}{n}$

 

여기서 $n$이 충분히 크면 $\dfrac{2k-1}{n} \approx \dfrac{2k}{n}$이므로 $\dfrac{\Delta u_k}{\Delta x_k} \approx 2x_k$라 할 수 있다. 즉, $u=x^2$이라는 변화에 따른 $dx$와 $du$사이의 변화율을 나타는 것이고 이 변화율을 극한까지 몰아붙이므로 미분계수가 나오는 것이다.

 

일차원에서의 치환적분은 비교적 직관적이고 방법도 어렵지 않다. 하지만 이차원 이상부터는 이해하지 못하면 암기로 풀어야 하고 금방 잊기 때문에 이해가 중요하다. 단순히 계산뿐 아니라 수학 전체에서 널리 쓰이기 때문이다.