치환적분과 Jacobian(2)

 

이번에는 이변수 함수의 정적분을 해보자.

 

$\displaystyle \iint_{[0,1]^2} x^3y^3dxdy$

 

적분영역 $[0,1]^2$은 꼭짓점이 $(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)$인 정사각형이다. $x, y$축을 각각 $n$, $m$개로 나누면 주어진 정사가형은 꼭짓점이 $(x_{i-1}, y_{j-1})$, $(x_{i-1}, y_j)$, $(x_i, y_{j-1})$, $(x_i, y_j)$인 직사각형들로 겹치지 않게 나누어진다.(경계는 무시해도 적분 값에 형향을 주지 않는다.)

 

저 직사각형의 넓이 $\Delta x_i \Delta y_j = (x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})$와 적당한 함숫값(여기선 $f(x_i, y_j)$를 곱한 것을 모두 더하면 정적분이 된다.

 

그러므로 정적분의 정의를 이용하면

 

$\displaystyle \lim_{n,m \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} x_i^3 y_j^3  \Delta x_i \Delta y_j$

 

이것을 계산해야 한다. 여기서 치환을 다음과 같이 해보자.

 

$u=x^2$, $v=y^2$

 

이라 하면, 적분 구간은 여전히 $[0,1]^2$이고 $x^3=u\sqrt{u}$이고 $y^3=v\sqrt{v}$이다.

 

대수적인 절차들은 끝났고 이제 해석적인 절차를 밟아보자.

 

$\Delta u_i$는 $(x_{i-1}, y_j)$와 $(x_i, y_j)$에서 함숫값의 변화량이므로

 

$\Delta u_i = u(x_i, y_j) - u(x_{i-1}, y_j)$

 

이다.($m \rightarrow \infty$가 될 것이므로 $y$의 인덱스는 중요하지 않다.) 여기서 $x$ 방향으로 선형근사를 하면 다음과 같다

 

$\Delta u_i \approx \dfrac{\partial u}{\partial x}(x_i) (x_i - x_{i-1}) = \dfrac{\partial u}{\partial x}(x_i)\Delta x_i = 2x_i \Delta x_i$

 

$\Delta v_i$도 마찬가지로

 

$\Delta v_i \approx \dfrac{\partial v}{\partial y}(y_j) \Delta y_j$

 

이다. 정리하면

 

$\Delta x_i \approx \dfrac{\Delta u_i}{2\sqrt{u_i}}$ 이고 $\Delta y_i \approx \dfrac{\Delta v_j}{2\sqrt{v_j}}$

 

이다. 따라서 정적분 무한급수는 다음과 같이 변한다.

 

$\displaystyle \lim_{n,m \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} u_i\sqrt{u_i} v_j\sqrt{v_j} \dfrac{1}{4\sqrt{u_i v_j}} \Delta u_i \Delta v_j = \lim_{n,m \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} \dfrac{u_iv_j}{4} \Delta u_i \Delta v_j$

 

이므로

 

$\displaystyle \lim_{n,m \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} \dfrac{u_iv_j}{4} \Delta u_i \Delta v_j = \iint_{[0,1]^2} \dfrac{uv}{4}dudv = \dfrac{1}{16}$

 

이다.

 

 

$dudv=4xydxdy$에서 $4xy$의 의미는?

$x$와 $y$ 기준으로 주어진 정사각형을 예쁘게 직사각형들로 잘랐지만 $u=x^2$과 $v=y^2$에 의해 만들어 지는 새로운 직사각형들은 크기가 보존되지 않는다. 그래서 변수가 바뀜에 따라 그에 따른 면적을 보정해주는 계수로 $4xy$가 등장하는 것이다.

 

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지금은 정적분의 정의에 충실해서 아주 간단한 예시를 풀었다. 하지만 매번 이렇게 노가다를 할 수는 없으므로 일반적인 치환적분 규칙을 찾아야 한다. 다음 글에서는 좀 약간 더 복잡한 상황에서 보정계수들이 어떻게 만들어지는지 규칙을 알아보자.