컴팩트 서포트(Compact Support)(1)

 

 

 

수학에는 많은 분야가 있다. 그 중에서 수학 아닌 쪽으로 가장 많이 쓰이는 분야는 누가 뭐래도 미분방정식(Differential Equations)일 것이다. 미분방정식은 기본적으로 적분을 필요로 하는데, 때로는 적분구간이 $-\infty < x < \infty$가 되기도 한다. 적분 구간이 이렇게 넓으면 해를 구하는 과정에서 조심해야 할 것이 많다. 이 글에서는 수학자들이 이런 문제를 어떻게 해결했는지 알아보자.

 

1. 핵심 문제 : 무한한 공간은 문제를 어렵게 만든다.

예를 들어 함수가 실수 전체 $\mathbb R$ 위에 정의되어 있다고 하자.

 

$f : \mathbb R \to \mathbb R$

 

이때 적분을 하거나, 부분적분을 하거나, 미분방정식을 다룰 때 문제가 생긴다. 예를 들어

 

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx$

 

를 생각하면, 함수가 무한히 멀리까지 영향을 미치기 때문에 적분이 발산할 수 있다. 또 부분적분을 하면 보통 이런 경계항이 나온다.

 

$\displaystyle \int_a^b u'(x)v(x)\,dx = u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^b u(x)v'(x)\,dx$

 

그런데 구간이 $(-\infty,\infty)$이면?

 

$u(\infty)v(\infty)-u(-\infty)v(-\infty)$

 

같은 애매한 항이 생긴다. 이게 문제다. 수학자들은 이런 생각을 한다.

“내가 사실 관심 있는 건 전체 범위가 아니라 어떤 유한한 영역 근처의 현상인데, 무한대에서 생기는 문제 때문에 계산이 더러워진다.”

 

그래서 등장하는 아이디어가 compact support다.

 

2. Compact support의 직관

어떤 함수 $\varphi(x)$가 있다고 하자. 이 함수가 어떤 유한한 구간 안에서는 값을 가지지만, 그 바깥에서는 완전히 $0$이라면? 예를 들어

 

$\varphi(x)=0 \quad \text{for } |x| \geq 1$

 

이면 이 함수는 $[-1,1]$ 바깥에서는 아무 영향도 주지 않는다. 즉 이 함수는 실수 전체 위에 정의되어 있지만, 실제로는 $[-1,1]$ 안에서만 살아 있다. 이런 함수를 compact support를 가진다고 한다. 정확히는

 

$\operatorname{supp} f = \overline{\{x : f(x)\neq 0\}}$

 

이고, 이 집합이 compact하면 $f$가 compact support를 가진다고 한다. $\mathbb R^n$에서는 대략 이렇게 생각하면 된다.

compact support를 가진 함수 = 충분히 멀리 가면 완전히 0이 되는 함수

 

3. 왜 “작아지는 함수”가 아니라 “아예 $0$이 되는 함수”가 필요했을까?

함수가 멀리 가면서 작아지는 것과, 어느 지점 바깥에서 아예 $0$이 되는 것은 다르다. 예를 들어

 

$e^{-x^2}$

 

는 무한히 멀리 가면 엄청 작아진다. 하지만 어디에서도 완전히 $0$은 아니다. 반면 compact support 함수는 어느 바깥에서는 진짜로 0이다. 이 차이가 큰 이유는, 경계항을 완전히 제거할 수 있기 때문이다. 예를 들어 $\varphi$가 compact support를 가지면, 충분히 큰 $R$에 대해

 

$\varphi(x)=0 \quad \text{for } |x|>R$

 

이다. 그러면 실수 전체에서 적분하더라도 실제 계산은 유한한 구간 $[-R,R]$ 안에서 끝난다.

 

$\displaystyle \int_{\mathbb R} f(x)\varphi(x)dx = \int_{-R}^{R} f(x)\varphi(x)dx$

 

그리고 부분적분을 해도 바깥쪽 경계항이 사라진다. 왜냐하면 $\varphi$가 양끝 근처에서 $0$이기 때문이다. 그래서

 

$\displaystyle \int_{\mathbb R} u'(x)\varphi(x)dx = -\int_{\mathbb R} u(x)\varphi'(x)dx$

 

처럼 깔끔한 공식이 나온다. 이건 해석학, PDE, distribution theory에서 엄청 중요하다.

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다음 글에서는 수학의 여러 분야에서 컴팩트 서포트가 왜 중요한지 알아보겠다.