약한 도함수(Weak Derivatives)(1)

 

Weak derivatives: 왜 등장했는가?

Weak derivative는 “미분할 수 없는 함수를 억지로 미분하기 위한 꼼수”가 아니라, 실제 물리 법칙이 원래부터 갖고 있던 ‘적분형 구조’를 수학적으로 정직하게 받아들이기 위해 등장한 개념이다. 고전적 미분은 함수의 한 점 한 점에서의 매끄러움을 요구한다. 그런데 물리현상은 종종 그렇게 친절하지 않다. 충격파, 점하중, 물질 경계면, 불연속 초기조건, 뾰족한 변위, 전하가 한 점에 몰린 경우 같은 것들이 자연스럽게 등장한다. 이때 고전적 의미의 미분방정식은 깨지지만, 물리 법칙 자체가 깨지는 것은 아니다. 오히려 국소적인 미분방정식보다 더 근본적인 것은 적분형 보존법칙인 경우가 많다.

 

1. 고전적 미분이 막히는 지점

예를 들어 아주 간단한 함수

 

$\displaystyle u(x)=|x|$

 

를 보자. 이 함수는 $x=0$에서 미분가능하지 않아. 고전적 의미로는 $u'(0)$이 존재하지 않는다. 그런데 물리적으로 보면 이런 모양은 아주 자연스럽다. 줄을 한 점에서 잡아당기면 변위가 꺾일 수 있고, 막대의 재료가 바뀌는 경계면에서 온도 기울기가 갑자기 바뀔 수 있다. 즉, 함수가 매끄럽지 않은 것은 병적인 현상이 아니라 실제 세계에서는 흔한 현상이야. 그렇다면 미분방정식

 

$\displaystyle -u''=f$

 

같은 것을 다룰 때, $u$가 두 번 미분가능하지 않으면 무조건 포기해야 할까? 그렇지 않다. 왜냐하면 많은 미분방정식은 원래 다음과 같은 적분형 법칙에서 출발하기 때문이다.

 

$\displaystyle \int_a^b \text{변화율} = \text{전체 변화량}$

 

또는

 

$\displaystyle \int_{\Omega} \text{힘의 균형} = 0$

 

또는

 

$\displaystyle \int_{\Omega} \text{유입량} - \int_{\Omega} \text{유출량} = \int_{\Omega} \text{축적량}$

 

즉, 물리 법칙은 처음부터 “점별 미분”이 아니라 “영역 전체에서의 균형”으로 표현되는 경우가 많다.

 

2. Weak derivative의 핵심 아이디어

고전적 미분에서는 $u'$를 직접 구한다. 하지만 weak derivative에서는 이렇게 생각한다.

$u$가 직접 미분되지 않아도 괜찮다. 대신 $u$를 부드러운 시험함수와 곱해서 적분한 뒤, integration by parts를 이용해 미분을 $u$가 아니라 시험함수 쪽으로 넘기자.

 

고전적으로 $u$가 충분히 매끄럽고 $\varphi$가 compact support를 가진 부드러운 함수라면,

 

$\displaystyle \int_{\Omega} u'(x)\varphi(x)\,dx = -\int_{\Omega}u(x)\varphi'(x)\,dx$

 

가 성립한다. 여기서 경계항은 $\varphi$가 compact support를 가지기 때문에 사라진다. 그래서 weak derivative는 이 공식을 거꾸로 사용한다. 함수 $u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$에 대해 어떤 함수 $v\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$가 있어서 모든 test function $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$에 대해

 

$\displaystyle \int_{\Omega} u(x)\varphi'(x)\,dx = -\int_{\Omega} v(x)\varphi(x)\,dx$

 

가 성립하면, $v$를 $u$의 weak derivative라고 부른다. 즉,

 

$\displaystyle u'=v$

 

라고 말하되, 그 의미는 점별 극한이 아니라

 

$\displaystyle \int u\varphi'=-\int v\varphi$

 

라는 적분 항등식으로 이해하는 것이다.

 

3. 왜 test function이 등장하는가?

여기서 test function $\varphi$는 일종의 “관측 장치”야. 우리가 어떤 함수 $u$를 한 점에서 직접 미분할 수 없더라도, 부드러운 함수 $\varphi$와 곱해서 적분하면 $u$의 전체적인 변화 구조를 감지할 수 있다. 비유하자면, 고전적 미분은 현미경으로 한 점을 들여다보는 방식이고, weak derivative는 여러 부드러운 렌즈를 통해 전체적인 반응을 측정하는 방식이야. 그리고 모든 test function에 대해 같은 반응을 보인다면, 우리는 $u$가 어떤 미분 구조를 가지고 있다고 말할 수 있다.

 

4. Trivial example: 부드러운 함수의 weak derivative

먼저 너무 쉬운 예제를 보자.

 

$\displaystyle u(x)=x^2,\qquad \Omega=(-1,1)$

 

이면 고전적으로

 

$\displaystyle u'(x)=2x$

 

이다. 이제 weak derivative 정의를 확인해보자. 모든 $\varphi\in C_c^\infty(-1,1)$에 대해

 

$\displaystyle \int_{-1}^{1} x^2\varphi'(x)\,dx$

 

를 계산한다. integration by parts를 쓰면

 

$\displaystyle \int_{-1}^{1} x^2\varphi'(x)\,dx = \left[x^2\varphi(x)\right]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1}2x\varphi(x)\,dx.$

 

그런데 $\varphi$는 compact support를 가지므로 경계 근처에서 0이다. 따라서 경계항은 사라지고,

 

$\displaystyle \int_{-1}^{1} x^2\varphi'(x)\,dx = -\int_{-1}^{1}2x\varphi(x)\,dx.$

 

따라서 $u=x^2$의 weak derivative는

 

$\displaystyle v(x)=2x$

 

이다. 이 예제의 의미는 단순하다. 고전적 derivative가 존재하면 weak derivative는 그것과 일치한다. Weak derivative는 고전적 미분을 버리는 것이 아니라, 고전적 미분을 포함하면서 더 넓은 세계로 확장하는 개념이다.

 

5. Easy nontrivial example: $u(x)=|x|$

이제 진짜 중요한 예제를 보자.

 

$\displaystyle u(x)=|x|,\qquad \Omega=(-1,1)$

 

이 함수는 $x=0$에서 미분가능하지 않다. 그래서 고전적 의미의 derivative는 전체 구간에서 존재하지 않는다. 하지만 weak derivative는 존재한다. 직관적으로는

 

$\displaystyle u'(x)= \begin{cases} -1, & x<0,\\ 1, & x>0. \end{cases}$

 

이다. 즉,

 

$\displaystyle v(x)=\operatorname{sgn}(x)$

 

가 weak derivative가 될 것 같다. 확인해보자.

 

$\displaystyle \int_{-1}^{1}|x|\varphi'(x)\,dx = \int_{-1}^{0}(-x)\varphi'(x)\,dx + \int_{0}^{1}x\varphi'(x)\,dx.$

 

첫 번째 적분은

 

$\displaystyle \int_{-1}^{0}(-x)\varphi'(x)\,dx = [-x\varphi(x)]_{-1}^{0} + \int_{-1}^{0}\varphi(x)\,dx.$

 

두 번째 적분은

 

$\displaystyle \int_{0}^{1}x\varphi'(x)\,dx = [x\varphi(x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}\varphi(x)\,dx.$

 

경계항은 사라지고, $x=0$에서 생기는 항도 $0\cdot \varphi(0)=0$이므로 사라진다. 따라서

 

$\displaystyle \int_{-1}^{1}|x|\varphi'(x)\,dx = \int_{-1}^{0}\varphi(x)\,dx - \int_{0}^{1}\varphi(x)\,dx.$

 

한편

 

$\displaystyle -\int_{-1}^{1}\operatorname{sgn}(x)\varphi(x)\,dx = -\left( \int_{-1}^{0}(-1)\varphi(x)\,dx + \int_{0}^{1}1\cdot\varphi(x)\,dx \right)$

 

이므로

 

$\displaystyle -\int_{-1}^{1}\operatorname{sgn}(x)\varphi(x)\,dx = \int_{-1}^{0}\varphi(x)\,dx - \int_{0}^{1}\varphi(x)\,dx.$

 

따라서

 

$\displaystyle D_w |x| = \operatorname{sgn}(x)$

 

이다. 여기서 중요한 점은 $x=0$에서 $\operatorname{sgn}(0)$을 무엇으로 정의하든 상관없다는 것이다. 적분에서는 한 점의 값이 영향을 주지 않기 때문이다. 즉, weak derivative는 “한 점에서 미분가능하지 않다”는 이유만으로 함수를 버리지 않는다.