컴팩트 서포트(Compact Support)(2)

 

4. 미분방정식에서는 왜 중요한가?

PDE에서 아주 중요한 질문은 이런 것이다.

함수 $u$가 방정식 $Lu=f$를 만족하는가?

 

그런데 $u$가 고전적인 의미로 매끄럽지 않을 수 있다. 미분이 제대로 존재하지 않을 수도 있다. 그럴 때 수학자들은 직접 $u$를 미분하지 않고, compact support를 가진 매끄러운 함수 $\varphi$를 곱해서 적분한다. 예를 들어

 

$\int u'(x)\varphi(x)dx$

 

를 직접 다루기 어렵다면, 부분적분으로 미분을 $\varphi$ 쪽으로 넘긴다.

 

$\int u'(x)\varphi(x)dx = -\int u(x)\varphi'(x)dx$

 

이때 $\varphi$가 compact support를 가지므로 경계항이 사라진다. 이게 약해, weak solution, distribution, Sobolev space 쪽으로 이어진다. 즉 compact support는 이런 문제를 해결한다.

“원래 함수가 미분 가능하지 않아도, 매끄럽고 compact support를 가진 테스트 함수로 검사하면 미분방정식을 의미 있게 해석할 수 있다.”

 

 

5. Distribution theory에서 compact support가 결정적으로 중요하다

디랙 델타 $\delta_0$를 생각해보자. $\delta_0$는 보통 함수가 아니다. 하지만 테스트 함수 $\varphi$에 대해 이렇게 작용한다고 볼 수 있다.

 

$\delta_0(\varphi)=\varphi(0)$

 

즉 $\delta_0$는 함수라기보다 “테스트 함수의 $0$에서의 값을 뽑아내는 작용”이다. 이때 테스트 함수로 자주 쓰이는 것이

 

$C_c^\infty(\mathbb R)$

 

이다. 이 표기는

무한히 미분 가능하고 compact support를 가진 함수들의 공간

 

을 뜻한다. 왜 하필 이런 함수들을 테스트 함수로 쓰느냐? 이 함수들은 두 가지 좋은 성질을 동시에 가진다.

1. 매끄럽다.
   그래서 마음껏 미분할 수 있다.
2. compact support를 가진다.
   그래서 적분과 부분적분에서 무한대 문제가 사라진다.

즉 distribution theory에서 compact support는 “이상한 대상들을 안전하게 검사하기 위한 시험지” 역할을 한다.

 

6. 다양체에서는 더 중요해진다

다양체에서는 보통 전역 좌표(Global Coordinates)가 없다. 그래서 한 번에 전체 공간을 다루기 어렵다. 이때 compact support를 가진 bump function을 사용한다. 어떤 점 $p$ 근처에서는 $1$이고, 조금 멀어지면 부드럽게 0이 되는 함수 $\varphi$를 만든다. 그러면 어떤 국소적인 대상을 전역적으로 확장할 수 있다. 쉽게 말해,

 

“이 좌표 근방 안에서는 내가 원하는 일을 하고, 바깥에서는 아무 일도 일어나지 않게 만들자.”

 

이게 가능해진다. 이 아이디어가 partition of unity와 연결된다. 그리고 partition of unity는 미분기하학, 다양체론, 리만기하학에서 거의 필수 도구다.

 

7. 그래서 compact support가 해결한 문제들은?

(1) 무한대 문제 제거

무한한 공간에서 적분할 때 발산이나 경계항 문제가 생긴다. compact support를 쓰면 계산이 유한한 영역 안으로 제한된다.

 

(2) 부분적분의 경계항 제거

PDE와 distribution theory에서 미분을 다른 함수로 옮기고 싶을 때, compact support 덕분에 경계항이 사라진다.

 

(3) 국소적 현상만 관찰

전체 함수나 전체 공간이 아니라, 특정 영역 근처의 성질만 보고 싶을 때 compact support 함수로 국소화한다.

 

(4) 특이한 대상 검사

디랙 델타 같은 일반화된 함수들을 테스트 함수에 대한 작용으로 정의할 수 있게 한다.

 

(5) 다양체에서 local-to-global 연결

국소 좌표계 안에서 만든 대상을 전역적으로 확장하거나, 여러 국소 정보를 부드럽게 이어붙일 수 있게 한다.