Partition of Unity(1)

 

Partition of unity는 무엇을 해결하기 위해 등장했는가?

Partition of unity는 한마디로 말하면,

“국소적으로만 가능한 일을 전역적으로 가능하게 만드는 부드러운 접착제”

 

다. 정의 자체보다 중요한 건 이것이다. 수학에서는 어떤 대상이 작은 영역에서는 잘 정의되는데, 전체 공간에서는 한 번에 정의하기 어렵거나 불가능한 경우가 많다. 그런데 우리는 전역적인 함수, 미분형식, 계량, 적분, 해석적 구조를 만들고 싶다. 이때 필요한 장치가 partition of unity다.

 

1. Partition of unity가 해결하는 핵심 문제

어떤 공간 $X$가 여러 열린집합들로 덮여 있다고 하자.

 

$\displaystyle X=\bigcup_{\alpha} U_\alpha$

 

각 $U_\alpha$ 위에서는 무언가를 할 수 있다. 예를 들면:

 

$\displaystyle f_\alpha : U_\alpha \to \mathbb{R}$

 

라는 국소 함수들이 있을 수 있는데 문제는 이것들이 겹치는 부분에서 서로 다를 수 있다.

 

$\displaystyle f_\alpha \neq f_\beta \quad \text{on } U_\alpha \cap U_\beta$

 

그러면 단순히

 

$\displaystyle f(x)=f_\alpha(x) \quad \text{if } x\in U_\alpha$

 

라고 정의할 수 없는데, 왜냐하면 $x$가 두 영역에 동시에 들어가면 어느 값을 써야 하는지 애매하고, 억지로 한쪽을 선택하면 경계에서 함수가 뚝 끊기거나 미분가능성이 깨지기 때문이다. Partition of unity는 이 문제를 이렇게 해결한다. 각 열린집합 $U_\alpha$에 대응하는 부드러운 가중치 함수 $\varphi_\alpha$를 만든다.

 

$\displaystyle 0\leq \varphi_\alpha \leq 1$

 

그리고 모든 점에서

 

$\displaystyle \sum_\alpha \varphi_\alpha(x)=1$

 

이 되게 한다. 그러면 국소 함수들을 다음처럼 섞을 수 있다.

 

$\displaystyle f(x)=\sum_\alpha \varphi_\alpha(x) f_\alpha(x)$

 

이게 핵심. 각 점에서 $\varphi_\alpha(x)$들은 “이 점에서는 $U_\alpha$의 정보를 몇 퍼센트 반영할 것인가?”를 나타내는 부드러운 가중치. 즉,

 

$\displaystyle \text{전역 대상} = \text{국소 대상들의 부드러운 가중 평균}$

 

이 되는 것이다.

 

2. 왜 그냥 조각별로 붙이면 안 되는가?

예를 들어 실수선에서 왼쪽에서는 $f_1(x)=x^2$, 오른쪽에서는 $f_2(x)=\sin x$를 쓰고 싶다고 하자. 단순히

 

$\displaystyle f(x)= \begin{cases} x^2, & x<0,\\ \sin x, & x\geq 0 \end{cases}$

 

라고 하면 $x=0$에서 값은 우연히 같을 수도 있지만, 도함수는 보통 맞지 않는다.

 

$\displaystyle (x^2)'|_{x=0}=0,\qquad (\sin x)'|_{x=0}=1$

 

그래서 이 함수는 $C^1$이 아니다. 수학, 특히 미분기하학과 해석학에서는 이런 “뚝 끊기는 접착”이 치명적이다. 우리는 부드럽게 붙이고 싶은데 Partition of unity는 경계를 칼로 자르는 게 아니라, 왼쪽 함수의 영향력을 서서히 줄이고 오른쪽 함수의 영향력을 서서히 늘려준다. 비유하면 이렇다.

조각별 정의는 “경계선에서 갑자기 담당자를 바꾸는 방식”이고,
partition of unity는 “겹치는 구간에서 두 담당자가 부드럽게 인수인계하는 방식”이야.

 

3. Compact support와의 관계

Compact support가 등장했던 이유를 생각해보자. Compact support 함수는 대체로 이런 역할을 했다.

“어떤 영역 안에서만 영향을 주고, 밖에서는 완전히 꺼지는 부드러운 함수.”

 

Partition of unity는 compact support 함수들의 철학을 더 조직적으로 쓴 것이다. 각 $\varphi_\alpha$는 보통 자기 담당 영역 $U_\alpha$ 안에서만 살아 있고, 밖에서는 0이 된다. 

 

$\displaystyle \operatorname{supp}(\varphi_\alpha)\subset U_\alpha$

 

이 조건이 중요한데, 왜냐하면 $\varphi_\alpha f_\alpha$를 만들 때, $f_\alpha$는 원래 $U_\alpha$ 위에서만 정의되어 있는데, $\varphi_\alpha$가 $U_\alpha$ 밖에서 0이면 밖에서는 안전하게 0으로 확장할 수 있기 때문. 즉, partition of unity는 compact support bump function을 이용해서

“국소 정의역의 한계를 무해하게 만드는 장치”

 

라고 볼 수 있다.

 

4. Trivial example: 실수선에서 두 열린집합을 부드럽게 붙이기

실수선 $\mathbb{R}$을 다음 두 열린집합으로 덮자.

 

$\displaystyle U_1=(-\infty,1), \qquad U_2=(-1,\infty)$

 

그러면

$\displaystyle \mathbb{R}=U_1\cup U_2$

 

이다. 이제 $U_1$에서는 왼쪽 공식 $f_1$, $U_2$에서는 오른쪽 공식 $f_2$를 쓰고 싶다고 하자. 예를 들어

 

$\displaystyle f_1(x)=x^2,\qquad f_2(x)=\sin x$

 

라고 하자. 이 둘은 각각 자기 영역에서는 잘 정의된다. 하지만 전체 실수선에서 하나의 함수로 붙이려면 문제가 생길 수 있으므로 이제 부드러운 함수 $\theta:\mathbb{R}\to[0,1]$를 하나 잡자.

 

$\displaystyle \theta(x)= \begin{cases} 0, & x\leq -\frac12,\\ \text{smooth transition}, & -\frac12<x<\frac12,\\ 1, & x\geq \frac12. \end{cases}$

 

그리고

 

$\displaystyle \varphi_1(x)=1-\theta(x),\qquad \varphi_2(x)=\theta(x)$

 

라고 두자. 그러면 항상

 

$\displaystyle \varphi_1(x)+\varphi_2(x)=1$

 

이고,

 

$\displaystyle \operatorname{supp}(\varphi_1)\subset (-\infty,1)=U_1$

$\displaystyle \operatorname{supp}(\varphi_2)\subset (-1,\infty)=U_2$

 

가 되도록 만들 수 있다. 이제 전역 함수

 

$\displaystyle f(x)=\varphi_1(x)f_1(x)+\varphi_2(x)f_2(x)$

 

를 정의하면,

 

$\displaystyle f(x)=\varphi_1(x)x^2+\varphi_2(x)\sin x$

 

가 된다. 이 함수는 왼쪽에서는 거의 $x^2$, 오른쪽에서는 거의 $\sin x$, 가운데 겹치는 구간에서는 두 함수를 부드럽게 섞은 함수다. 특히,

 

$\displaystyle x\leq -\frac12$

 

에서는 $\theta(x)=0$이므로

 

$\displaystyle f(x)=x^2$

 

이고, 

 

$\displaystyle x\geq \frac{1}{2}$

 

에서는 $\theta(x)=1$이므로 $\displaystyle f(x)=\sin x$. 중간에서는 둘이 부드럽게 섞인다. 이 예제에서 partition of unity가 한 일은 단순한데

서로 다른 두 국소 공식을 부드럽게 인수인계하게 만들었다.

 

5. Nontrivial example: 모든 smooth manifold에는 Riemannian metric이 존재한다

이 예제가 partition of unity의 진짜 힘을 보여준다. 임의의 smooth manifold $M$이 있다고 하자. 우리는 $M$ 위에 Riemannian metric, 즉 각 점의 tangent space $T_pM$에 내적

 

$\displaystyle g_p:T_pM\times T_pM\to\mathbb{R}$

 

을 부드럽게 주고 싶다. 그런데 문제는 이거다. Manifold는 일반적으로 하나의 전역 좌표계로 덮이지 않는다. 예를 들어 구면 $S^2$는 하나의 좌표계로 전체를 덮을 수 없어. 북극이나 남극 같은 곳에서 좌표계가 깨진다. 하지만 국소적으로는 항상 좌표계가 있다. 각 chart

 

$\displaystyle (U_\alpha,\phi_\alpha)$

 

위에서는 $U_\alpha$가 $\mathbb{R}^n$의 열린집합처럼 보이니까, 거기서는 표준 Euclidean inner product를 끌어와서 국소적인 metric $g_\alpha$를 만들 수 있다. 즉,

 

$\displaystyle g_\alpha$

 

는 $U_\alpha$ 위에서는 잘 정의되는 Riemannian metric이 된다. 그런데 문제는 겹치는 부분에서

 

$\displaystyle g_\alpha \neq g_\beta$

 

일 수 있다. 그럼 이 국소 metric들을 어떻게 하나의 전역 metric으로 붙일까? 여기서 partition of unity가 등장한다.

 

chart cover $\{U_\alpha\}$에 subordinate한 partition of unity

 

$\displaystyle \{\varphi_\alpha\}$

 

를 잡는다. 그리고 전역적으로

 

$\displaystyle g=\sum_\alpha \varphi_\alpha g_\alpha$

 

라고 정의한다. 이게 말이 되는 이유는 다음과 같다.

 

각 점 $p\in M$에서 $\varphi_\alpha(p)$는 0 이상이고, 합이 1.

 

$\displaystyle \sum_\alpha \varphi_\alpha(p)=1$

 

그러므로 $g_p$는 국소 metric들의 가중 평균.

 

$\displaystyle g_p(v,w)=\sum_\alpha \varphi_\alpha(p)g_{\alpha,p}(v,w)$

 

각 $g_{\alpha,p}$는 positive definite이고, $\varphi_\alpha(p)\geq0$이며 적어도 하나는 양수이므로, $v\neq0$에 대해

 

$\displaystyle g_p(v,v)>0$

 

가 된다. 따라서 $g$는 여전히 Riemannian metric이다. 여기서 partition of unity가 해결한 문제는 정말 깊다.

Manifold에서는 전역 좌표계가 없기 때문에 전역적으로 대상을 직접 만들기 어렵다.
하지만 국소 좌표계 위에서는 대상을 만들 수 있다.
Partition of unity는 이 국소 대상들을 부드럽고 일관되게 평균내어 전역 대상으로 만들어준다.

 

이게 미분기하학에서 partition of unity가 필수적인 이유다.

 

6. Partition of unity의 본질적 역할 정리

상황 1. 국소적으로는 만들 수 있는데 전역적으로는 어렵다

예:

$\displaystyle \text{local data on } U_\alpha$

는 있는데,

 

$\displaystyle \text{global data on } M$

 

를 만들기 어렵다.  Partition of unity는

 

$\displaystyle \text{local data} \longrightarrow \text{global data}$

 

를 가능하게 한다.

상황 2. 겹치는 영역에서 공식이 서로 다르다

국소 공식들이 overlap에서 일치하지 않아도 된다. 왜냐하면 partition of unity는 그 공식들을 “선택”하지 않고 “가중 평균”하기 때문이다.

상황 3. 경계에서 매끄러움을 잃고 싶지 않다

딱 잘라 붙이면 discontinuity나 corner가 생긴다. Partition of unity는 smooth cutoff를 사용하므로 부드러움을 유지한다.

상황 4. 국소적으로 정의된 대상을 전역적으로 확장하고 싶다

$\varphi_\alpha$가 $U_\alpha$ 밖에서는 0이기 때문에,

 

$\displaystyle \varphi_\alpha f_\alpha$

 

는 전체 공간 위의 함수처럼 취급할 수 있다. 이게 정말 중요해. 국소 함수 $f_\alpha$는 $U_\alpha$ 밖에서 정의되어 있지 않지만, $\varphi_\alpha$가 밖에서 죽어버리므로 전체 공간으로 안전하게 확장할 수 있다.