Partition of Unity(2)

 

8. 문제 세트

A. 정의와 기본 감각 문제

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문제 1. 가장 단순한 partition of unity

$\mathbb{R}$ 위에서

 

$\displaystyle \varphi_1(x)=\frac{1}{2},\qquad \varphi_2(x)=\frac{1}{2}$

 

라고 하자. 이때 $\{\varphi_1,\varphi_2\}$는 $\mathbb{R}$ 위의 partition of unity인가?

단, subordinate condition은 일단 고려하지 않는다.

학습 목표:

partition of unity의 가장 기본 조건인 “합이 1”을 이해하기.

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문제 2. 열린덮개와 subordinate condition

$\displaystyle U_1=(-\infty,1),\qquad U_2=(-1,\infty)$

 

가 $\mathbb{R}$의 열린덮개임을 보여라. 또한 다음 조건을 만족하는 $\varphi_1,\varphi_2$가 왜 유용한지 설명하라.

 

$\displaystyle \operatorname{supp}(\varphi_1)\subset U_1,\qquad \operatorname{supp}(\varphi_2)\subset U_2$

$\displaystyle \varphi_1+\varphi_2=1$

학습 목표:

“어느 함수가 어느 열린집합에 종속된다”는 말의 의미를 이해하기.

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문제 3. Characteristic function은 왜 안 되는가?

다음 함수를 생각하자.

 

$\displaystyle \chi_{(-\infty,0)}(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 0, & x\geq 0. \end{cases}$

 

이 함수가 smooth partition of unity를 만드는 데 적합하지 않은 이유를 설명하라.

학습 목표:

smooth cutoff가 필요한 이유 이해하기.

 

B. 직접 구하는 문제

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문제 4. 두 구간에 대한 smooth partition 만들기

다음 smooth step function을 사용하자.

 

$\displaystyle \eta(t)= \begin{cases} 0, & t\leq 0,\\ \dfrac{e^{-1/t}}{e^{-1/t}+e^{-1/(1-t)}}, & 0<t<1,\\ 1, & t\geq 1. \end{cases}$

$\displaystyle U_1=(-\infty,1),\qquad U_2=(-1,\infty)$

 

에 대해

 

$\displaystyle \theta(x)=\eta\left(x+\frac12\right)$

 

또는 적절한 rescaling을 사용하여

 

$\displaystyle \varphi_1=1-\theta,\qquad \varphi_2=\theta$

 

꼴의 partition of unity를 구성하라. 단,

 

$\displaystyle \operatorname{supp}(\varphi_1)\subset U_1,\qquad \operatorname{supp}(\varphi_2)\subset U_2$

 

가 되도록 transition interval을 적절히 선택하라.

학습 목표:

smooth step function으로 partition of unity를 직접 구성하기.

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문제 5. 세 개의 열린구간으로 덮인 실수선

$\displaystyle U_1=(-\infty,1),\quad U_2=(-1,3),\quad U_3=(2,\infty)$

 

가 $\mathbb{R}$을 덮는다고 하자. 이 열린덮개에 subordinate한 smooth partition of unity

 

$\displaystyle \varphi_1+\varphi_2+\varphi_3=1$

 

를 구성하라.

힌트: 먼저 bump function $\psi_i$들을 만들고,

 

$\displaystyle \varphi_i=\frac{\psi_i}{\psi_1+\psi_2+\psi_3}$

 

로 정규화하라.

학습 목표:

partition of unity의 표준 구성법 이해하기.

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문제 6. 원 $S^1$ 위의 partition of unity

단위원

 

$\displaystyle S^1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\}$

 

을 다음 두 열린집합으로 덮자.

 

$\displaystyle U_N=S^1\setminus\{(0,1)\}$

$\displaystyle U_S=S^1\setminus\{(0,-1)\}$

 

이 열린덮개에 subordinate한 partition of unity를 구성하라.  정확한 공식이 아니어도 좋다. 다만 다음을 설명해야 한다.

1. $\varphi_N$은 북극 근처에서 0이 되어야 하는가, 남극 근처에서 0이 되어야 하는가?
2. $\varphi_S$은 어디에서 0이 되어야 하는가?
3. 왜 $\varphi_N+\varphi_S=1$이 되게 만들 수 있는가?

학습 목표:

manifold 위에서 partition of unity를 생각하는 감각 얻기.

 

C. 국소 함수를 전역 함수로 붙이는 문제

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문제 7. 두 국소 함수의 부드러운 접착

$\displaystyle U_1=(-\infty,1),\qquad U_2=(-1,\infty)$

 

위에 각각

 

$\displaystyle f_1(x)=x^2,\qquad f_2(x)=\sin x$

 

가 주어져 있다. 문제 4에서 만든 partition of unity $\{\varphi_1,\varphi_2\}$를 사용하여

 

$\displaystyle f=\varphi_1 f_1+\varphi_2 f_2$

 

를 정의하라. 다음을 보여라.

1. $f$는 smooth이다.
2. 왼쪽 충분히 먼 곳에서는 $f=x^2$이다.
3. 오른쪽 충분히 먼 곳에서는 $f=\sin x$이다.
4. 중간에서는 두 함수의 가중 평균이다.

학습 목표:

partition of unity가 국소 공식을 전역 공식으로 바꾸는 방식을 직접 확인하기.

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문제 8. 국소 함수들이 overlap에서 일치하지 않아도 되는 이유

위 문제에서 $f_1$과 $f_2$는 겹치는 구간

 

$\displaystyle (-1,1)$

 

에서 일반적으로 일치하지 않는다. 그럼에도 불구하고

 

$\displaystyle f=\varphi_1 f_1+\varphi_2 f_2$

 

가 잘 정의되는 이유를 설명하라.

학습 목표:

partition of unity가 “일치 조건 없이도” 붙이기를 가능하게 하는 이유 이해하기.

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문제 9. 국소적으로 정의된 함수의 전역 확장

열린집합

 

$\displaystyle U=(-2,2)\subset \mathbb{R}$

 

위에

 

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4-x^2}$

 

가 정의되어 있다. $\varphi\in C_c^\infty(U)$를 하나 잡고,

 

$\displaystyle F(x)= \begin{cases} \varphi(x)f(x), & x\in U,\\ 0, & x\notin U \end{cases}$

 

라고 하자. 왜 $F$가 $\mathbb{R}$ 위의 smooth function이 되는가?

학습 목표:

compact support와 partition of unity의 연결 이해하기.

 

D. 응용 문제: 미분기하학 방향

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문제 10. 국소 metric을 전역 metric으로 붙이기

$M$이 smooth manifold이고, $\{U_\alpha\}$가 chart cover라고 하자. 각 $U_\alpha$ 위에서 Riemannian metric $g_\alpha$가 주어져 있다. $\{ \varphi_\alpha \}$가 이 cover에 subordinate한 partition of unity일 때,

 

$\displaystyle g=\sum_\alpha \varphi_\alpha g_\alpha$

 

로 정의하자. 다음을 보여라.

1. $g$는 smooth한 $(0,2)$-tensor field이다.
2. $g$는 symmetric이다.
3. $g$는 positive definite이다.
4. 따라서 $g$는 $M$ 위의 Riemannian metric이다.

학습 목표:

partition of unity의 대표적인 nontrivial application 이해하기.

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문제 11. 국소 1-form 붙이기

매끄러운 다양체 $M$ 위의 열린덮개 $\{U_\alpha\}$가 있고, 각 $U_\alpha$ 위에 smooth 1-form $\omega_\alpha$가 주어져 있다고 하자. Partition of unity $\{\varphi_\alpha\}$를 사용하여

 

$\displaystyle \omega=\sum_\alpha \varphi_\alpha\omega_\alpha$

 

를 정의하라. 이때 $\omega$가 전역 smooth 1-form이 되는 이유를 설명하라.

학습 목표:

함수뿐 아니라 tensor, differential form도 partition of unity로 붙일 수 있음을 이해하기.

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문제 12. Local finite condition이 왜 필요한가?

무한히 많은 함수 $\{\varphi_\alpha\}$가 있을 때,

 

$\displaystyle \sum_\alpha \varphi_\alpha(x)$

 

가 각 점 근처에서 사실상 유한합이 되지 않으면 어떤 문제가 생길 수 있는가? 다음 두 관점에서 설명하라.

1. 함수값의 정의 가능성
2. smoothness의 보존

학습 목표:

partition of unity 정의에서 locally finite condition이 왜 들어가는지 이해하기.

 

E. 약간 더 어려운 응용 문제

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문제 13. $\mathbb{R}$의 정수 중심 열린덮개

$\displaystyle U_n=(n-1,n+1),\qquad n\in\mathbb{Z}$

 

라고 하자. 이 열린덮개에 subordinate한 smooth partition of unity를 구성하는 방법을 설명하라.

힌트:

먼저 하나의 bump function $\psi\in C_c^\infty((-1,1))$를 잡고,

 

$\displaystyle \psi_n(x)=\psi(x-n)$

 

라고 하라. 그 다음

 

$\displaystyle \varphi_n(x)=\frac{\psi_n(x)}{\sum_{k\in\mathbb{Z}}\psi_k(x)}$

 

로 정의하라. 다음을 확인하라.

1. 분모가 항상 양수이다.
2. 각 점 근처에서 유한개의 항만 살아 있다.
3. $\operatorname{supp}(\varphi_n)\subset U_n$이다.
4. $\sum_n\varphi_n=1$이다.

학습 목표:

무한 열린덮개에 대한 partition of unity 구성 이해하기.

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문제 14. 국소 근사들을 하나의 전역 근사로 만들기

$\mathbb{R}$ 위의 어떤 복잡한 함수 $F$를 직접 다루기 어렵다고 하자.각 구간

 

$\displaystyle U_n=(n-1,n+1)$

 

위에서 $F$를 간단한 함수 $P_n$, 예를 들어 다항식으로 근사했다고 하자.

 

$\displaystyle P_n \approx F \quad \text{on } U_n$

 

문제 13의 partition of unity $\{\varphi_n\}$를 사용하여

 

$\displaystyle P(x)=\sum_n \varphi_n(x)P_n(x)$

 

를 정의하라. 이 $P$가 왜 전역적인 smooth approximation이 되는지 설명하라.

학습 목표:

partition of unity가 approximation theory에서 어떻게 쓰이는지 이해하기.

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문제 15. 국소 vector field 붙이기

Smooth manifold $M$의 열린덮개 $\{U_\alpha\}$ 위에 각각 vector field $X_\alpha$가 주어져 있다고 하자. Partition of unity $\{\varphi_\alpha\}$를 사용하여

 

$\displaystyle X=\sum_\alpha \varphi_\alpha X_\alpha$

 

를 정의하라. 다음을 설명하라.

1. 왜 각 $\varphi_\alpha X_\alpha$를 전역 vector field로 볼 수 있는가?
2. 왜 $X$는 smooth vector field인가?
3. overlap에서 $X_\alpha$들이 서로 달라도 문제가 없는 이유는 무엇인가?

학습 목표:

partition of unity가 vector field 구성에도 쓰인다는 점 이해하기.

 

F. 사고를 깊게 하는 문제

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문제 16. Sheaf적 사고와 partition of unity

국소 데이터들이 overlap에서 정확히 일치하면, 그것들은 자연스럽게 전역 데이터로 glueing된다. 그런데 partition of unity는 overlap에서 일치하지 않는 국소 데이터들도 평균내서 전역 데이터를 만든다. 이 둘의 차이를 설명하라.

학습 목표:

“정확한 접착”과 “부드러운 평균 접착”의 차이 이해하기.

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문제 17. 왜 analytic category에서는 조심해야 하는가?

Smooth function 범주에서는 bump function이 풍부하게 존재한다. 하지만 real analytic function에서는 compact support를 가진 nonzero analytic function이 존재하지 않는다. 이 사실을 받아들인다면, real analytic category에서 partition of unity가 smooth category처럼 자유롭게 존재하지 않는 이유를 설명하라.

학습 목표:

partition of unity가 smooth category의 특권이라는 사실 이해하기.

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문제 18. Partition of unity의 철학

다음 문장을 해설하라.

Partition of unity는 전역적 일관성을 국소적 자유와 양립시키는 장치이다.

예시를 하나 들어 설명하라.

학습 목표:

partition of unity의 수학적 철학 이해하기.

 

9. 전체 요약

Partition of unity는 단순한 기술적 정의가 아니다. 이 개념은 다음 문제를 해결하기 위해 등장한다.

“공간 전체에서는 직접 정의하기 어렵지만, 작은 열린집합들 위에서는 정의할 수 있는 대상들을 어떻게 전역적으로 부드럽게 붙일 것인가?”

그 답이 바로

 

$\displaystyle \text{local data} \quad \xrightarrow{\text{partition of unity}} \quad \text{global object}$

 

이다. 조각별 정의는 거칠고, 경계에서 깨진다. 하지만 partition of unity는 부드러운 가중치 함수들을 사용해서 국소 공식들을 자연스럽게 섞는다. 그래서 partition of unity는 미분기하학, 해석학, PDE, approximation theory, vector bundle theory에서 계속 등장한다. 가장 중요한 감각은 

Compact support는 “밖에서는 영향을 끄는 함수”이고,
partition of unity는 그런 함수들을 조직적으로 배치해서
“국소 세계들을 전역 세계로 부드럽게 연결하는 방법”이다.