약한 도함수(Weak Derivatives)(2)

 

 

6. 하지만 점프 불연속은 다르다: Heaviside 함수

이제 더 중요한 예제를 보자.

 

$\displaystyle H(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x>0. \end{cases}$

 

이 함수는 $x=0$에서 점프한다. 직관적으로는 $x=0$에서 갑자기 올라가므로 derivative가 $0$이어서는 안 된다. 그런데 $x\neq 0$에서는 상수 함수니까 derivative는 0이다. 그러면 도대체 derivative는 무엇일까? Distribution의 관점에서는

 

$\displaystyle H'=\delta_0$

 

이다. 즉, Dirac delta가 나온다. 실제로

 

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}H(x)\varphi'(x)\,dx = \int_{0}^{\infty}\varphi'(x)\,dx = -\varphi(0).$

 

따라서

 

$\displaystyle \int H\varphi' = -\delta_0(\varphi)$

 

이므로

 

$\displaystyle H'=\delta_0$

 

이다. 그런데 여기서 조심해야 한다. $\delta_0$는 일반적인 함수가 아니다. 그래서 Sobolev space $W^{1,p}$의 의미에서 $H$는 weak derivative를 $L^p$ 함수로 갖지 않는다. 정리하면:

 

$\displaystyle |x|$

 

는 weak derivative를 함수로 가진다. 하지만

 

$\displaystyle H(x)$

 

의 derivative는 distribution으로는 존재하지만, $L^p$ 함수로서의 weak derivative는 아니다. 이 차이는 매우 중요하다.

 

7. Weak derivative와 distributional derivative의 차이

많이 헷갈리는 부분이므로 정리하자. 모든 $u\in L^1_{\mathrm{loc}}$는 distributional derivative를 가진다. 왜냐하면

 

$\displaystyle D u(\varphi)=-u(D\varphi)$

 

로 정의할 수 있기 때문이다. 하지만 그 distributional derivative가 실제 함수 $v\in L^p$로 표현될 수 있을 때, 우리는 Sobolev 공간의 의미에서 weak derivative가 있다고 말한다. 즉,

 

$\displaystyle D u = v$

with

$\displaystyle v\in L^p$

 

이면 $u\in W^{1,p}$ 같은 말을 할 수 있다. 간단히 말하면:

 

$\displaystyle \text{distributional derivative}$

 

는 더 넓은 개념이고,

 

$\displaystyle \text{weak derivative}$

 

는 그 derivative가 적당한 함수로 표현되는 경우라고 보면 된다. 물론 문맥에 따라 weak derivative를 distributional derivative와 거의 같은 뜻으로 쓰기도 하지만, Sobolev space를 공부할 때는 이 차이를 알고 있어야 한다.

 

8. 실제 물리 문제 1: 점하중을 받는 줄

이제 실제 물리 문제로 가보자. 길이 $L$인 팽팽한 줄이 있고, 양 끝은 고정되어 있다고 하자.

 

$\displaystyle u(0)=u(L)=0$

 

이다. 여기서 $u(x)$는 줄의 변위다. 줄의 장력을 $T$라고 하고, $x=a$ 지점에 아래 방향의 점하중 $F$가 작용한다고 하자.

고전적 모델은 다음과 같다.

 

$\displaystyle -Tu''=F\delta_a.$

 

여기서 $\delta_a$는 $x=a$에 작용하는 점하중을 나타내는 Dirac delta다. 문제는 오른쪽이 함수가 아니라는 것이다. 따라서 $u''$도 일반적인 함수로 존재할 수 없다. 실제로 해는 다음과 같은 모양이다.

 

$\displaystyle u(x)= \begin{cases} \dfrac{F(L-a)}{TL}x, & 0\le x\le a,\\[6pt] \dfrac{Fa}{TL}(L-x), & a\le x\le L. \end{cases}$

 

이 함수는 연속이지만 $x=a$에서 기울기가 갑자기 바뀐다. 즉, $u'$는 점프한다. 따라서 $u''$는 고전적 함수가 아니다. 하지만 물리적으로 이 해는 완전히 말이 된다. 줄은 꺾였고, 그 꺾임이 바로 점하중을 지탱한다. Weak formulation은 다음처럼 쓴다.

 

$\displaystyle \int_0^L T u'(x)\varphi'(x)\,dx = F\varphi(a)$

for all test functions $\varphi$ with $\varphi(0)=\varphi(L)=0$.

 

이 식은 아주 중요하다. 왼쪽은 줄의 내부 탄성 에너지 또는 장력에 의한 반응이고, 오른쪽은 외부 힘이 test displacement $\varphi$에 대해 하는 일이다. 즉, weak formulation은

 

$\displaystyle \text{내부 힘의 일}=\text{외부 힘의 일}$

 

이라는 물리적 균형식이다. 여기서는 $u''$를 직접 요구하지 않는다. 대신 $u'$만 있으면 된다. 그래서 꺾인 함수도 해로 인정할 수 있다. 이것이 weak derivative가 물리에서 중요한 이유다.

 

9. 실제 물리 문제 2: 재료가 바뀌는 막대의 열전도

또 다른 예를 보자. 막대가 두 재료로 이루어져 있다고 하자. 왼쪽 재료의 열전도율은 $k_1$, 오른쪽 재료의 열전도율은 $k_2$다.

 

$\displaystyle k(x)= \begin{cases} k_1, & x<0,\\ k_2, & x>0. \end{cases}$

 

정상상태 열전도 방정식은

 

$\displaystyle -(k(x)u'(x))'=f(x)$

 

이다. 여기서 $u(x)$는 온도다. 재료가 바뀌는 경계면 $x=0$에서 온도 $u$는 보통 연속이어야 하지만, 기울기 $u'$는 달라질 수 있다. 왜냐하면 열유속

 

$\displaystyle -k u'$

 

가 맞아야 하므로, $k$가 바뀌면 $u'$가 바뀌는 것이 자연스럽다. 즉, $u$는 $C^2$가 아닐 수 있다. 그런데 물리적으로는 아무 문제가 없다. 이때 weak formulation은

 

$\displaystyle \int_{\Omega} k(x)u'(x)\varphi'(x)\,dx = \int_{\Omega}f(x)\varphi(x)\,dx$

 

이다. 이 식은 “온도가 두 번 미분가능해야 한다”고 요구하지 않는다. 대신 $u'$가 적분 가능하고, 에너지 균형이 모든 test function에 대해 성립하기만 하면 된다. 이것이 바로 weak solution의 세계다.

 

10. 어려운 예제: $\log |x|$와 점전하

2차원에서

 

$\displaystyle u(x)=\log |x|,\qquad x\in\mathbb{R}^2$

 

를 생각하자. 이 함수는 $x=0$에서 특이점을 가진다. 고전적으로는 원점에서 정의조차 되지 않는다. 하지만 전기장, 유체의 source, 2차원 포텐셜 이론에서는 이런 함수가 자연스럽게 등장한다. 원점 밖에서는

 

$\displaystyle \Delta \log |x|=0$

 

이다. 즉, 원점 밖에서는 조화함수다. 하지만 전체 $\mathbb{R}^2$에서 distributional sense로는

 

$\displaystyle \Delta \log |x|=2\pi\delta_0$

 

가 성립한다. 이 말은 물리적으로 이렇게 읽을 수 있다.

원점에는 점전하 또는 점source가 있고, 그 밖의 공간에는 source가 없다.

 

즉, $\log |x|$는 원점에 집중된 source를 가진 포텐셜이다. 여기서 고전적 미분만 고집하면 원점에서 식이 무너진다. 하지만 weak derivative/distributional derivative를 사용하면, 원점의 점source까지 포함한 전역적인 방정식을 정확하게 쓸 수 있다. 이것은 단순한 기술적 확장이 아니다. 실제 물리적 의미를 보존하는 확장이다.

 

11. Weak derivative의 철학적 의미

Weak derivative의 철학은 이렇게 요약할 수 있다. 고전적 해석학은 말한다.

함수가 충분히 매끄러우면 미분방정식을 만족한다.

 

Weak derivative와 weak solution의 세계는 말한다.

함수가 충분히 매끄럽지 않아도, 모든 test function에 대해 물리적 균형식이 성립하면 해로 인정한다.

 

이 관점 전환이 Sobolev space, variational method, finite element method, elliptic PDE theory, Navier-Stokes equation의 weak solution, conservation law의 shock solution으로 이어진다. 즉, weak derivative는 단순히 미분 개념 하나를 확장한 것이 아니라, 현대 PDE 해석학의 입구다.

 

12. 예제 정리

예제 A. $u(x)=|x|$

$\displaystyle u(x)=|x|$

 

이면

 

$\displaystyle D_wu(x)= \begin{cases} -1, & x<0,\\ 1, & x>0. \end{cases}$

 

즉,

 

$\displaystyle D_w |x|=\operatorname{sgn}(x).$

 

단, $x=0$에서의 값은 중요하지 않다.

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예제 B. $u(x)=\max(1-|x|,0)$

이 함수는 tent function이다.

 

$\displaystyle u(x)= \begin{cases} 0, & x\le -1,\\ x+1, & -1<x<0,\\ 1-x, & 0<x<1,\\ 0, & x\ge 1. \end{cases}$

 

고전적으로는 $x=-1,0,1$에서 미분가능하지 않다. 하지만 weak derivative는

 

$\displaystyle u'(x)= \begin{cases} 0, & x<-1,\\ 1, & -1<x<0,\\ -1, & 0<x<1,\\ 0, & x>1. \end{cases}$

 

이다. 즉, 꺾인 점들이 있어도 첫 번째 weak derivative는 함수로 잘 존재한다. 하지만 두 번째 derivative는

 

$\displaystyle u''=\delta_{-1}-2\delta_0+\delta_1$

 

가 된다. 이것은 일반 함수가 아니라 distribution이다. 따라서 이 함수는 대략적으로

 

$\displaystyle u\in W^{1,p}$

 

에는 들어가지만,

 

$\displaystyle u\notin W^{2,p}$

 

이다.

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예제 C. Heaviside 함수

$\displaystyle H(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x>0. \end{cases}$

 

이면

 

$\displaystyle H'=\delta_0$

 

이다. 따라서 distributional derivative는 존재하지만, $L^p$ 함수로서의 weak derivative는 존재하지 않는다. 즉,

 

$\displaystyle H\notin W^{1,p}_{\mathrm{loc}}$

for $1\le p\le\infty$.

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예제 D. $u(x)=|x|^\alpha$

$\displaystyle u(x)=|x|^\alpha$

 

를 $(-1,1)$에서 생각하자. $x\neq 0$에서는

 

$\displaystyle u'(x)=\alpha |x|^{\alpha-1}\operatorname{sgn}(x)$

 

이다. 이것이 $L^p(-1,1)$에 속하려면

 

$\displaystyle |x|^{\alpha-1}\in L^p(-1,1)$

 

이어야 한다. 즉,

 

$\displaystyle \int_0^1 x^{p(\alpha-1)}\,dx<\infty$

 

이어야 하므로

 

$\displaystyle p(\alpha-1)>-1.$

 

따라서

 

$\displaystyle \alpha>1-\frac1p$

 

이면 $u\in W^{1,p}(-1,1)$이다. 이 예제는 Sobolev space에서 “특이점의 강도”와 “적분가능성”이 어떻게 연결되는지 보여준다.