약한 도함수(Weak Derivatives)(3)

 

 

 

 

13. 문제 세트

아래 문제들은 단순 계산에서 시작해서 Sobolev space, weak formulation, 물리 응용까지 이어지도록 구성되었다.

 

Level 0. 정의 확인용 문제

문제 1

$\displaystyle u(x)=x^3,\qquad \Omega=(-1,1)$

 

에 대해 weak derivative를 정의로 확인하라.

목표: 고전적 derivative와 weak derivative가 일치함을 확인하기.

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문제 2

$\displaystyle u(x)=\sin x,\qquad \Omega=(0,\pi)$

 

의 weak derivative를 구하고, 정의를 이용해 확인하라.

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문제 3

$\displaystyle u(x)=e^x,\qquad \Omega=(-2,2)$

 

의 weak derivative를 구하라.

 

Level 1. 꺾인 함수의 weak derivative

문제 4

$\displaystyle u(x)=|x-1|,\qquad \Omega=(-1,3)$

 

의 weak derivative를 구하라.

정답은 다음과 같다.

 

$\displaystyle D_wu(x)= \begin{cases} -1, & x<1,\\ 1, & x>1. \end{cases}$

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문제 5

$\displaystyle u(x)= \begin{cases} x, & x<0,\\ 2x, & x>0 \end{cases}$

 

를 $(-1,1)$에서 생각하자.

1. $u$는 연속인가?

2. 고전적으로 $x=0$에서 미분가능한가?

3. weak derivative를 구하라..

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문제 6

$\displaystyle u(x)= \begin{cases} x+1, & -1<x<0,\\ 1-x, & 0<x<1,\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

 

의 weak derivative를 구하라.

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문제 7

$\displaystyle u(x)=\max(x,0)$

 

를 $(-1,1)$에서 생각하자. 즉 ReLU 함수다.

1. 고전적 derivative가 존재하지 않는 점은 어디인가?

2. weak derivative를 구하라.

3. $u\in W^{1,p}(-1,1)$인가?

정답은 다음과 같다.

 

$\displaystyle D_wu(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x>0. \end{cases}$

 

따라서

 

$\displaystyle u\in W^{1,p}(-1,1)$

for every $1\le p\le\infty$.

 

Level 2. 점프 함수와 Dirac delta

문제 8

Heaviside 함수

 

$\displaystyle H(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x>0 \end{cases}$

 

에 대해 distributional derivative를 구하라.

$\displaystyle H'=\delta_0$

in distribution sense.

 

하지만 $\delta_0\notin L^p$, 따라서 $H\notin W^{1,p}_{\mathrm{loc}}$.

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문제 9

다음 함수의 distributional derivative를 구하라.

 

$\displaystyle u(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 3, & x>0. \end{cases}$

 

힌트: 점프의 크기를 생각하라.

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문제 10

다음 함수의 distributional derivative를 구하라.

 

$\displaystyle u(x)= \begin{cases} x, & x<0,\\ x+2, & x>0. \end{cases}$

 

이 함수는 $x=0$에서 점프한다. regular part와 singular part를 분리해서 써라.

각 구간에서는 derivative가 1이다. 하지만 $x=0$에서 점프 크기가

 

$\displaystyle u(0+)-u(0-)=2$

 

이므로

 

$\displaystyle Du=1+2\delta_0.$

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문제 11

다음 주장을 판별하라.

점프 불연속을 가진 함수도 항상 weak derivative를 $L^p$ 함수로 가진다.

 

참인지 거짓인지 말하고, 반례를 제시하라.

 

Level 3. Sobolev space 판별 문제

문제 12

$\displaystyle u(x)=|x|^\alpha$

 

를 $(-1,1)$에서 생각하자. 어떤 $\alpha>0$에 대해

 

$\displaystyle u\in W^{1,2}(-1,1)$

 

인지 판별하라.

$\displaystyle u(x)=|x|^\alpha$

 

이면

 

$\displaystyle u'(x)=\alpha |x|^{\alpha-1}\operatorname{sgn}(x).$

 

$u'\in L^2(-1,1)$이려면

 

$\displaystyle \int_0^1 x^{2(\alpha-1)}\,dx<\infty$

 

이어야 한다. 따라서

 

$\displaystyle 2(\alpha-1)>-1$

 

즉,

 

$\displaystyle \alpha>\frac12.$

 

따라서

 

$\displaystyle u\in W^{1,2}(-1,1) \iff \alpha>\frac12.$

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문제 13

$\displaystyle u(x)=|x|^{-a}$

 

를 $(-1,1)$에서 생각하자. 어떤 $a>0$에 대해

 

$\displaystyle u\in L^2(-1,1)$

 

인가? 또 어떤 $a>0$에 대해

 

$\displaystyle u\in W^{1,2}(-1,1)$

 

인가?

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문제 14

$\displaystyle u(x)=\sqrt{|x|}$

 

가 $W^{1,1}(-1,1)$에 속하는지, $W^{1,2}(-1,1)$에 속하는지 판별하라.

$\displaystyle u(x)=\sqrt{|x|}=|x|^{1/2}.$

 

weak derivative는

 

$\displaystyle u'(x)=\frac12 |x|^{-1/2}\operatorname{sgn}(x)$

 

이다. 이 함수는 $L^1(-1,1)$에는 속한다. 왜냐하면

 

$\displaystyle \int_0^1 x^{-1/2}\,dx<\infty.$

 

하지만 $L^2(-1,1)$에는 속하지 않는다. 왜냐하면

 

$\displaystyle \int_0^1 x^{-1}\,dx=\infty.$

 

따라서

 

$\displaystyle u\in W^{1,1}(-1,1),$

 

하지만

 

$\displaystyle u\notin W^{1,2}(-1,1).$

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문제 15

$\displaystyle u(x)=\log |x|$

를 $(-1,1)$에서 생각하자.

1. $u\in L^1(-1,1)$인가?

2. distributional derivative는 무엇인가?

3. 그 derivative는 $L^1(-1,1)$에 속하는가?

 

Level 4. 다변수 weak derivative

문제 16

$\displaystyle u(x,y)=|x|+|y|$

를 $\Omega=(-1,1)^2$에서 생각하자.

1. $\partial_x u$의 weak derivative를 구하라.

2. $\partial_y u$의 weak derivative를 구하라.

3. $u\in W^{1,p}(\Omega)$인가?

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문제 17

$\displaystyle u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$

 

를 단위원판 $B_1(0)\subset\mathbb{R}^2$에서 생각하자.

1. 원점 밖에서 gradient를 구하라.

2. $\nabla u\in L^2(B_1(0))$인가?

3. $u\in W^{1,2}(B_1(0))$인가?

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문제 18

$\displaystyle u(x,y)=\log \sqrt{x^2+y^2}$

 

를 $B_1(0)\subset\mathbb{R}^2$에서 생각하자.

1. 원점 밖에서 gradient를 구하라.

2. $\nabla u\in L^p(B_1(0))$가 되는 $p$의 범위를 구하라.

3. $\Delta u$는 distribution sense에서 무엇인가?

 

Level 5. Weak formulation 만들기

문제 19

고전적 boundary value problem

 

$\displaystyle -u''=f,\qquad 0<x<1,$

$\displaystyle u(0)=u(1)=0$

 

의 weak formulation을 유도하라.

힌트: test function $v\in C_c^\infty(0,1)$ 또는 $v\in H_0^1(0,1)$를 곱하고 integration by parts를 사용하라.

$\displaystyle -u''=f$

 

에 test function $v$를 곱하면

 

$\displaystyle \int_0^1 -u''v\,dx = \int_0^1fv\,dx.$

 

integration by parts를 하면

 

$\displaystyle \int_0^1 u'v'\,dx = \int_0^1fv\,dx.$

 

따라서 weak formulation은 다음과 같다.

 

$\displaystyle \text{Find }u\in H_0^1(0,1)\text{ such that}$

$\displaystyle \int_0^1 u'v'\,dx = \int_0^1fv\,dx$

for all $v\in H_0^1(0,1)$.

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문제 20

다음 문제의 weak formulation을 유도하라.

 

$\displaystyle -(a(x)u'(x))'=f(x),\qquad 0<x<1,$

$\displaystyle u(0)=u(1)=0.$

 

여기서 $a(x)>0$이고 $a\in L^\infty(0,1)$라고 하자.

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문제 21

2차원 Poisson equation

 

$\displaystyle -\Delta u=f,\qquad \Omega\subset\mathbb{R}^2$

$\displaystyle u=0\quad\text{on }\partial\Omega$

 

의 weak formulation을 유도하라.

목표: 다음 형태를 얻는 것.

 

$\displaystyle \int_{\Omega}\nabla u\cdot \nabla v\,dx = \int_{\Omega}fv\,dx$

for all $v\in H_0^1(\Omega)$.

 

Level 6. 물리 응용 문제

문제 22. 점하중을 받는 줄

길이 $L$인 줄이 양 끝에서 고정되어 있고, $x=a$에서 점하중 $F$를 받는다.

 

$\displaystyle -Tu''=F\delta_a,\qquad u(0)=u(L)=0.$

 

1. weak formulation을 유도하라.

2. 해 $u(x)$를 구하라.

3. $u'$의 점프 조건을 구하라.

4. $u''$는 함수인가 distribution인가?

Weak formulation은

 

$\displaystyle \int_0^L T u'v'\,dx = Fv(a)$

for all $v\in H_0^1(0,L)$.

 

해는

 

$\displaystyle u(x)= \begin{cases} \dfrac{F(L-a)}{TL}x, & 0\le x\le a,\\[6pt] \dfrac{Fa}{TL}(L-x), & a\le x\le L. \end{cases}$

 

기울기 점프는

 

$\displaystyle u'(a+)-u'(a-)=-\frac{F}{T}.$

 

따라서

 

$\displaystyle -Tu''=F\delta_a$

 

가 distribution sense에서 성립한다.

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문제 23. 두 재료로 이루어진 막대의 열전도

$\displaystyle -(k(x)u'(x))'=0,\qquad -1<x<1$

 

이고

 

$\displaystyle k(x)= \begin{cases} k_1, & -1<x<0,\\ k_2, & 0<x<1. \end{cases}$

 

경계조건은

 

$\displaystyle u(-1)=A,\qquad u(1)=B$

 

이다.

1. weak formulation을 세워라.

2. $x=0$에서 $u$는 어떤 조건을 만족해야 하는가?

3. $x=0$에서 flux $k u'$는 어떤 조건을 만족해야 하는가?

4. $u'$는 일반적으로 연속인가?

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문제 24. 전기 퍼텐셜과 점전하

2차원에서 원점에 점전하가 있을 때 전기 퍼텐셜은

 

$\displaystyle u(x)=C\log |x|$

 

꼴로 나타난다.

1. 원점 밖에서 $\Delta u$를 계산하라.

2. distribution sense에서 $\Delta u$가 무엇인지 설명하라.

3. 이 예제가 왜 weak derivative 또는 distributional derivative를 필요로 하는지 설명하라.

 

Level 7. 조금 더 추상적인 문제

문제 25

$u\in W^{1,p}(\Omega)$이고 $u$가 고전적으로도 미분가능하다고 하자. 이때 weak derivative와 classical derivative가 거의 모든 점에서 일치함을 설명하라.

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문제 26

다음 명제를 증명하라.

Weak derivative는 존재한다면 almost everywhere sense에서 유일하다.

 

힌트: 모든 test function $\varphi$에 대해

 

$\displaystyle \int_{\Omega}(v_1-v_2)\varphi=0$

 

이면 $v_1=v_2$ a.e.임을 사용하라.

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문제 27

$\displaystyle u_n(x)=\sqrt{x^2+\frac1n}$

 

이라고 하자.

1. $u_n$은 smooth한가?

2. $u_n\to |x|$가 어떤 의미에서 성립하는가?

3. $u_n'\to \operatorname{sgn}(x)$가 어떤 의미에서 성립하는가?

4. 이 예제가 weak derivative를 이해하는 데 어떤 직관을 주는가?

 

14. 몇 개의 핵심 정답 스케치

문제 4 정답

$\displaystyle u(x)=|x-1|$

 

이므로

 

$\displaystyle D_wu(x)= \begin{cases} -1, & x<1,\\ 1, & x>1. \end{cases}$

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문제 7 정답

$\displaystyle u(x)=\max(x,0)$

 

이면

 

$\displaystyle D_wu(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x>0. \end{cases}$

 

따라서

 

$\displaystyle u\in W^{1,p}(-1,1)$

for every $1\le p\le\infty$.

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문제 8 정답

$\displaystyle H'=\delta_0$

in distribution sense.

 

하지만 $\delta_0\notin L^p$, 따라서 $H\notin W^{1,p}_{\mathrm{loc}}$.

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문제 10 정답

$\displaystyle u(x)= \begin{cases} x, & x<0,\\ x+2, & x>0 \end{cases}$

 

이다. 각 구간에서는 derivative가 1이다. 하지만 $x=0$에서 점프 크기가

 

$\displaystyle u(0+)-u(0-)=2$

 

이므로

 

$\displaystyle Du=1+2\delta_0.$

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문제 12 정답

$\displaystyle u(x)=|x|^\alpha$

 

이면

 

$\displaystyle u'(x)=\alpha |x|^{\alpha-1}\operatorname{sgn}(x).$

 

$u'\in L^2(-1,1)$이려면

 

$\displaystyle \int_0^1 x^{2(\alpha-1)}\,dx<\infty$

 

이어야 한다. 따라서

 

$\displaystyle 2(\alpha-1)>-1$

 

즉,

 

$\displaystyle \alpha>\frac12.$

 

따라서

 

$\displaystyle u\in W^{1,2}(-1,1) \iff \alpha>\frac12.$

---

문제 14 정답

$\displaystyle u(x)=\sqrt{|x|}=|x|^{1/2}.$

 

weak derivative는

 

$\displaystyle u'(x)=\frac12 |x|^{-1/2}\operatorname{sgn}(x)$

 

이다. 이 함수는 $L^1(-1,1)$에는 속한다. 왜냐하면

 

$\displaystyle \int_0^1 x^{-1/2}\,dx<\infty.$

 

하지만 $L^2(-1,1)$에는 속하지 않는다. 왜냐하면

 

$\displaystyle \int_0^1 x^{-1}\,dx=\infty.$

 

따라서

 

$\displaystyle u\in W^{1,1}(-1,1),$

 

하지만

 

$\displaystyle u\notin W^{1,2}(-1,1).$

---

문제 19 정답

$\displaystyle -u''=f$

 

에 test function $v$를 곱하면

 

$\displaystyle \int_0^1 -u''v\,dx = \int_0^1fv\,dx.$

 

integration by parts를 하면

 

$\displaystyle \int_0^1 u'v'\,dx = \int_0^1fv\,dx.$

 

따라서 weak formulation은 다음과 같다.

 

$\displaystyle \text{Find }u\in H_0^1(0,1)\text{ such that}$

$\displaystyle \int_0^1 u'v'\,dx = \int_0^1fv\,dx$

for all $v\in H_0^1(0,1)$.

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문제 22 정답 스케치

Weak formulation은

 

$\displaystyle \int_0^L T u'v'\,dx = Fv(a)$

for all $v\in H_0^1(0,L)$.

 

해는

 

$\displaystyle u(x)= \begin{cases} \dfrac{F(L-a)}{TL}x, & 0\le x\le a,\\[6pt] \dfrac{Fa}{TL}(L-x), & a\le x\le L. \end{cases}$

 

기울기 점프는

 

$\displaystyle u'(a+)-u'(a-)=-\frac{F}{T}.$

 

따라서

 

$\displaystyle -Tu''=F\delta_a$

 

가 distribution sense에서 성립한다.

 

15. 마지막으로 한 문장으로 정리하면

Weak derivative는 미분불가능한 함수를 억지로 미분하는 기술이 아니라,

 

$\displaystyle \text{점별 미분방정식}$

 

보다 더 근본적인

 

$\displaystyle \text{적분형 균형법칙}$

 

을 기준으로 해의 개념을 확장하는 방법이다. 그래서 물리적으로는 점하중, 충격파, 재료 경계면, 점전하 같은 현상을 자연스럽게 다루게 해주고, 수학적으로는 Sobolev space, weak solution, variational method, finite element method로 가는 문을 열어준다.