14. 문제 세트
- Level 0: 개념 확인 6문제
- Level 1: 기본 계산 8문제
- Level 2: 점프와 delta 8문제
- Level 3: weak derivative 연결 6문제
- Level 4: PDE 응용 5문제
- Level 5: 도전 문제 4문제
총 37문제다.
Level 0. 개념 확인 문제
문제 0-1
다음 문장을 완성하라.
distribution은 $C_c^\infty(\Omega)$ 위의 $\underline{\qquad}$ 함수이다.
distribution은 $C_c^\infty(\Omega)$ 위의 연속 선형 함수이다.
문제 0-2
국소적분가능 함수 $f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$가 distribution을 만드는 방법을 쓰시오. 즉,
$\displaystyle \langle T_f,\varphi\rangle$
를 적분으로 표현하시오.
$\displaystyle \langle T_f,\varphi\rangle = \int_{\Omega} f(x)\varphi(x)\,dx$
문제 0-3
Dirac delta $\delta_a$는 테스트 함수 $\varphi$에 대해 어떻게 작용하는가?
$\displaystyle \langle \delta_a,\varphi\rangle=\varphi(a)$
문제 0-4
distributional derivative의 정의를 쓰시오. 즉,
$\displaystyle \langle T',\varphi\rangle$
를 $\langle T,\varphi'\rangle$를 이용해 표현하시오.
$\displaystyle \langle T',\varphi\rangle = -\langle T,\varphi'\rangle$
문제 0-5
distributional derivative를 정의할 때 테스트 함수가 compact support를 가지는 것이 왜 중요한가?
부분적분할 때 경계항이 사라지기 때문이다. 예를 들어
$\displaystyle \int f'\varphi = -\int f\varphi'$
가 되려면 경계항이 없어야 한다. $\varphi$가 compact support를 가지면 정의역의 경계나 무한대에서 $\varphi=0$이 되므로 경계항이 사라진다.
문제 0-6
weak derivative와 distributional derivative의 차이를 설명하시오.
distributional derivative는 항상 존재한다. 하지만 weak derivative는 distributional derivative가 다시 어떤 함수, 예를 들어 $L^1_{\mathrm{loc}}$ 함수, 로 표현될 때 말한다. 따라서 weak derivative는 distributional derivative보다 좁은 개념이다.
Level 1. 기본 계산 문제
문제 1-1
상수 함수 $f(x)=1$의 distributional derivative를 구하시오.
$\displaystyle f(x)=1$
이면
$\displaystyle f'=0$
이다.
distribution 의미에서도 같다.
문제 1-2
함수 $f(x)=x$의 distributional derivative를 구하시오.
$\displaystyle f(x)=x$
이면
$\displaystyle f'=1$
이다.
문제 1-3
함수 $f(x)=x^2$의 distributional derivative를 구하시오.
$\displaystyle f(x)=x^2$
이면
$\displaystyle f'=2x$
이다.
문제 1-4
함수 $f(x)=\sin x$의 distributional derivative를 구하시오.
$\displaystyle f(x)=\sin x$
이면
$\displaystyle f'=\cos x$
이다.
문제 1-5
함수 $f(x)=e^x$의 distributional derivative를 구하시오.
$\displaystyle f(x)=e^x$
이면
$\displaystyle f'=e^x$
이다.
문제 1-6
함수 $f(x)=|x|$의 첫 번째 distributional derivative를 구하시오.
$\displaystyle f(x)=|x|$
이면
$\displaystyle f'=\operatorname{sgn}(x)$
이다. 즉,
$\displaystyle \operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} -1, & x<0,\\ 1, & x>0 \end{cases}$
문제 1-7
함수 $f(x)=|x|$의 두 번째 distributional derivative를 구하시오.
앞에서
$\displaystyle (|x|)'=\operatorname{sgn}(x)$
이고, $\operatorname{sgn}(x)$는 0에서 점프 크기 2를 가진다. 따라서
$\displaystyle (|x|)''=2\delta_0$
문제 1-8
함수
$\displaystyle f(x)=x_+ = \begin{cases} x, & x>0,\\ 0, & x<0 \end{cases}$
의 첫 번째와 두 번째 distributional derivative를 구하시오.
$\displaystyle x_+= \begin{cases} x, & x>0,\\ 0, & x<0 \end{cases}$
이다. 첫 번째 derivative는
$\displaystyle (x_+)'=H(x)$
이다. 두 번째 derivative는
$\displaystyle (x_+)''=\delta_0$
이다.
Level 2. 점프 불연속과 Dirac delta
문제 2-1
Heaviside 함수
$\displaystyle H(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x>0 \end{cases}$
에 대해 distributional derivative를 구하시오.
$\displaystyle H'=\delta_0$
문제 2-2
다음 함수의 distributional derivative를 구하시오.
$\displaystyle f(x)= \begin{cases} 2, & x<0,\\ 5, & x>0 \end{cases}$
함수는 0에서 2에서 5로 점프한다. 점프 크기는
$\displaystyle 5-2=3$
이다. 따라서
$\displaystyle f'=3\delta_0$
문제 2-3
다음 함수의 distributional derivative를 구하시오.
$\displaystyle f(x)= \begin{cases} x, & x<0,\\ x+3, & x>0 \end{cases}$
$\displaystyle f(x)= \begin{cases} x, & x<0,\\ x+3, & x>0 \end{cases}$
양쪽에서 고전적 derivative는 모두 1이다. 또한 0에서 점프 크기는
$\displaystyle f(0+)-f(0-)=3-0=3$
이다. 따라서
$\displaystyle f'=1+3\delta_0$
문제 2-4
다음 함수의 distributional derivative를 구하시오.
$\displaystyle f(x)= \begin{cases} x^2, & x<1,\\ x^2+4, & x>1 \end{cases}$
$\displaystyle f(x)= \begin{cases} x^2, & x<1,\\ x^2+4, & x>1 \end{cases}$
고전적 derivative는 양쪽에서
$\displaystyle 2x$
이다. 점프는 $x=1$에서 발생한다.
$\displaystyle f(1-)=1$
$\displaystyle f(1+)=5$
따라서 점프 크기는
$\displaystyle 4$
이다. 그러므로
$\displaystyle f'=2x+4\delta_1$
문제 2-5
다음 함수의 distributional derivative를 구하시오.
$\displaystyle f(x)=H(x-2)$
$\displaystyle f(x)=H(x-2)$
는 $x=2$에서 점프한다. 따라서
$\displaystyle f'=\delta_2$
문제 2-6
다음 distribution의 derivative를 구하시오.
$\displaystyle T=\delta_0$
즉, $\delta_0'$가 테스트 함수에 어떻게 작용하는지 쓰시오.
정의에 의해
$\displaystyle \langle \delta_0',\varphi\rangle = -\langle \delta_0,\varphi'\rangle = -\varphi'(0)$
따라서
$\displaystyle \delta_0'$
는 테스트 함수의 0에서의 derivative를 음수로 뽑아내는 distribution이다.
문제 2-7
다음 distribution의 derivative를 구하시오.
$\displaystyle T=3\delta_0-2\delta_1$
$\displaystyle T=3\delta_0-2\delta_1$
이면
$\displaystyle T'=3\delta_0'-2\delta_1'$
이다. 작용으로 쓰면
$\displaystyle \langle T',\varphi\rangle = -3\varphi'(0)+2\varphi'(1)$
이다.
문제 2-8
다음 함수의 distributional derivative를 구하시오.
$\displaystyle f(x)=|x-1|$
$\displaystyle f(x)=|x-1|$
이면 $x=1$에서 꺾인다. 첫 번째 미분은
$\displaystyle f'=\operatorname{sgn}(x-1)$
이고 두 번째 미분은
$\displaystyle f''=2\delta_1$
이다. 문제는 첫 번째 derivative만 물었으므로 답은
$\displaystyle f'=\operatorname{sgn}(x-1)$
이다.
Level 3. weak derivative와 Sobolev 감각
문제 3-1
함수 $u(x)=|x|$가 $(-1,1)$에서 weak derivative를 가지는가? 가진다면 구하시오.
$\displaystyle u(x)=|x|$
는 weak derivative를 가진다.
$\displaystyle u'(x)=\operatorname{sgn}(x)$
이다. $\operatorname{sgn}(x)\in L^1_{\mathrm{loc}}(-1,1)$이므로 weak derivative로 인정된다.
문제 3-2
함수 $u(x)=H(x)$는 $(-1,1)$에서 weak derivative를 $L^1_{\mathrm{loc}}$ 함수로 가지는가?
$\displaystyle u(x)=H(x)$
의 distributional derivative는
$\displaystyle u'=\delta_0$
이다. 그런데 $\delta_0$는 $L^1_{\mathrm{loc}}$ 함수가 아니다. 따라서 $H(x)$는 weak derivative를 $L^1_{\mathrm{loc}}$ 함수로 가지지 않는다.
문제 3-3
함수 $u(x)=x_+$는 $(-1,1)$에서 weak derivative를 가지는가? 가진다면 구하시오.
$\displaystyle u(x)=x_+$
의 distributional derivative는
$\displaystyle u'=H(x)$
이다. $H(x)\in L^1_{\mathrm{loc}}$이므로 weak derivative를 가진다. 따라서
$\displaystyle u'=H$
이다.
문제 3-4
함수 $u(x)=|x|$는 $W^{1,1}(-1,1)$에 속하는가?
$\displaystyle u(x)=|x|$
는 $(-1,1)$에서 $L^1$ 함수이고 weak derivative $\operatorname{sgn}(x)$도 $L^1$ 함수이다. 따라서
$\displaystyle u\in W^{1,1}(-1,1)$
이다.
문제 3-5
함수 $u(x)=H(x)$는 $W^{1,1}(-1,1)$에 속하는가?
$\displaystyle H(x)$
는 $L^1(-1,1)$에는 속한다. 하지만 weak derivative가 $\delta_0$이고, 이것은 $L^1$ 함수가 아니다. 따라서
$\displaystyle H\notin W^{1,1}(-1,1)$
이다.
문제 3-6
다음 명제의 참거짓을 판단하고 이유를 설명하시오.
모든 distributional derivative는 weak derivative이다.
명제:
모든 distributional derivative는 weak derivative이다.
거짓이다.
distributional derivative는 항상 존재하지만, weak derivative는 그 derivative가 함수로 표현될 수 있어야 한다.
예를 들어
$\displaystyle H'=\delta_0$
인데 $\delta_0$는 함수가 아니므로 $H$는 weak derivative를 함수로 가지지 않는다.
Level 4. PDE 응용 문제
문제 4-1
1차원에서 다음 방정식을 distribution 의미로 풀어라.
$\displaystyle u'=\delta_0$
$\displaystyle u'=\delta_0$
이므로 대표적인 해는
$\displaystyle u=H$
이다. 더 일반적으로는 상수를 더할 수 있다.
$\displaystyle u=H+C$
문제 4-2
다음 방정식을 distribution 의미로 풀어라.
$\displaystyle u''=\delta_0$
$\displaystyle u''=\delta_0$
이다. 앞에서
$\displaystyle (x_+)''=\delta_0$
였으므로 대표적인 해는
$\displaystyle u=x_+$
이다. 일반해는 일차함수를 더한 것이다.
$\displaystyle u=x_+ + ax+b$
왜냐하면 $(ax+b)''=0$이기 때문이다.
문제 4-3
다음 방정식을 distribution 의미로 풀어라.
$\displaystyle -u''=\delta_0$
$\displaystyle -u''=\delta_0$
이므로
$\displaystyle u''=-\delta_0$
이다. 따라서 대표적인 해는
$\displaystyle u=-x_+$
이다. 일반해는
$\displaystyle u=-x_+ + ax+b$
이다.
문제 4-4
다음 함수가 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$에서는 harmonic임을 확인하고, distribution 의미에서 singularity가 무엇을 만드는지 설명하라.
$\displaystyle u(x)=|x| \quad (x\in\mathbb{R})$
$\displaystyle u(x)=|x|$
는 $x\neq 0$에서 일차함수이다. 따라서 $x\neq 0$에서는
$\displaystyle u''=0$
이다. 하지만 distribution 의미에서는
$\displaystyle u''=2\delta_0$
이다. 즉, 고전적 관점에서는 $0$을 제외한 곳에서 아무 일도 없지만, distribution 관점에서는 원점에 singular source가 존재한다.
문제 4-5
2차원에서 fundamental solution
$\displaystyle \Phi(x)=\frac{1}{2\pi}\log |x|$
가 왜 고전적 함수 해석만으로는 부족하고 distribution이 필요한지 설명하라.
$\displaystyle \Phi(x)=\frac{1}{2\pi}\log |x|$
는 $x=0$에서 정의되지 않는다. 하지만 $x\neq 0$에서는 harmonic이다. 즉,
$\displaystyle \Delta \Phi=0 \quad (x\neq 0)$
이다. 그런데 distribution 의미에서는 원점의 singularity가 Dirac delta를 만든다.
$\displaystyle \Delta \Phi=\delta_0$
이 식은 고전적 함수의 미분만으로는 표현할 수 없다. 따라서 fundamental solution을 엄밀히 다루려면 distribution이 필요하다.
Level 5. 도전 문제
문제 5-1
piecewise smooth function $f$가 $a$에서 jump discontinuity를 가진다고 하자.
$\displaystyle [f]_a=f(a+)-f(a-)$
라고 할 때, distributional derivative가 다음 꼴이 됨을 설명하라.
$\displaystyle D f = f'_{\mathrm{classical}} + [f]_a\delta_a$
piecewise smooth 함수 $f$가 $a$에서 jump를 가진다고 하자. 고전적 derivative는 각 구간 안에서 계산할 수 있다. 하지만 $a$에서 점프가 있으므로 derivative에 Dirac delta가 추가된다. 점프 크기는
$\displaystyle [f]_a=f(a+)-f(a-)$
이다. 따라서
$\displaystyle Df=f'_{\mathrm{classical}}+[f]_a\delta_a$
이다. 이 공식은 매우 중요하다. 말로 해석하면, 매끄러운 부분에서는 평소처럼 미분하고, 점프가 있는 곳에서는 점프 크기만큼 Dirac delta를 붙인다.
문제 5-2
다음 함수의 distributional derivative를 구하시오.
$\displaystyle f(x)= \begin{cases} x^2, & x<0,\\ x^2+1, & 0<x<2,\\ x^2-3, & x>2 \end{cases}$
$\displaystyle f(x)= \begin{cases} x^2, & x<0,\\ x^2+1, & 0<x<2,\\ x^2-3, & x>2 \end{cases}$
각 구간에서 derivative는 모두
$\displaystyle 2x$
이다. 이제 jump를 계산한다. $x=0$에서
$\displaystyle f(0-)=0$
$\displaystyle f(0+)=1$
따라서 점프 크기는
$\displaystyle 1$
이다. $x=2$에서
$\displaystyle f(2-)=2^2+1=5$
$\displaystyle f(2+)=2^2-3=1$
따라서 점프 크기는
$\displaystyle 1-5=-4$
이다. 그러므로
$\displaystyle f'=2x+\delta_0-4\delta_2$
문제 5-3
다음 distribution의 second derivative를 구하시오.
$\displaystyle T=|x|+3H(x-1)$
$\displaystyle T=|x|+3H(x-1)$
먼저 한 번 미분하면
$\displaystyle T'=\operatorname{sgn}(x)+3\delta_1$
이다. 한 번 더 미분하면
$\displaystyle T''=2\delta_0+3\delta_1'$
이다. 따라서
$\displaystyle T''=2\delta_0+3\delta_1'$
문제 5-4
다음 conservation law의 약한 해 정의를 distribution 관점에서 설명하시오.
$\displaystyle u_t+\left(\frac{u^2}{2}\right)_x=0$
Burgers equation
$\displaystyle u_t+\left(\frac{u^2}{2}\right)_x=0$
에서 $u$가 불연속이면 고전적 미분 $u_t$, $(u^2/2)_x$가 존재하지 않을 수 있다. distribution 관점에서는 테스트 함수 $\varphi\in C_c^\infty$를 곱하고 적분한다. 형식적으로
$\displaystyle \int\int \left[ u_t\varphi+ \left(\frac{u^2}{2}\right)_x\varphi \right]dxdt=0$
이다. 부분적분으로 미분을 $u$에서 $\varphi$로 옮기면
$\displaystyle \int\int \left[ u\varphi_t+ \frac{u^2}{2}\varphi_x \right]dxdt=0$
형태가 된다. 초기조건까지 포함하면 보통
$\displaystyle \int_0^\infty\int_{\mathbb{R}} \left[ u\varphi_t+ \frac{u^2}{2}\varphi_x \right]dxdt + \int_{\mathbb{R}}u_0(x)\varphi(x,0)\,dx =0$
을 만족하는 $u$를 weak solution이라고 한다. 이 정의는 $u$가 미분 가능하지 않아도 의미가 있다. 왜냐하면 미분은 모두 smooth한 테스트 함수 $\varphi$에게 넘어갔기 때문이다.
16. 이 단원의 핵심 공식 모음
마지막으로 꼭 기억해야 할 공식들을 모아둘게.
함수가 만드는 distribution
$\displaystyle \langle T_f,\varphi\rangle = \int f\varphi$
Dirac delta
$\displaystyle \langle \delta_a,\varphi\rangle = \varphi(a)$
distributional derivative
$\displaystyle \langle T',\varphi\rangle = -\langle T,\varphi'\rangle$
Heaviside 함수
$\displaystyle H'=\delta_0$
절댓값 함수
$\displaystyle (|x|)'=\operatorname{sgn}(x)$
$\displaystyle (|x|)''=2\delta_0$
positive part 함수
$\displaystyle x_+=xH(x)$
$\displaystyle (x_+)'=H$
$\displaystyle (x_+)''=\delta_0$
점프 공식
$\displaystyle Df=f'_{\mathrm{classical}}+\sum_j [f]_{a_j}\delta_{a_j}$
여기서
$\displaystyle [f]_{a_j}=f(a_j+)-f(a_j-)$
이다.
17. 학습 순서 추천
처음 공부할 때는 다음 순서가 좋아.
- $T_f(\varphi)=\int f\varphi$ 관점 익히기
- $\delta_a(\varphi)=\varphi(a)$ 익히기
- $T'(\varphi)=-T(\varphi')$ 정의 외우기보다 부분적분에서 이해하기
- $H'=\delta_0$ 직접 계산하기
- $(|x|)''=2\delta_0$ 계산하기
- 점프 공식 익히기
- weak derivative와 비교하기
- PDE에서 singular source와 weak solution으로 확장하기
distribution의 진짜 의미는 “기묘한 일반화”가 아니라, 이미 공부한 compact support, partition of unity, weak derivative가 하나의 언어로 합쳐지는 지점이라고 보면 된다. 특히 weak derivative를 공부했다면 distribution은 “갑자기 새로 나온 괴물”이 아니라, 약미분을 가능하게 한 더 큰 배경 언어라고 보면 된다.
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