Schwarz Distribution(1)

 

1. Distribution은 어떤 문제를 해결하려고 등장했는가?

1.1 고전적 미분의 한계

예를 들어 다음 함수를 보자.

 

$\displaystyle H(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x>0. \end{cases}$

 

이 함수는 Heaviside step function다. 그래프는 갑자기 0에서 1로 점프하므로 고전적 의미에서 $x=0$에서는 미분이 안 된다. 그런데 물리적으로는 이런 생각을 할 수 있지 않을까?

 

“0에서 순간적으로 값이 1만큼 증가했으니, 도함수는 0에서는 무한히 큰 충격이고, 그 전체 효과는 1이어야 하지 않을까?”

 

즉,

 

$\displaystyle H'(x)=\delta_0$

 

라고 쓰고 싶다. 여기서 $\delta_0$는 Dirac delta 함수다. 그런데 문제는 $\delta_0$가 일반적인 함수가 아니라는 것이다. 왜냐하면 “0에서 무한대, 나머지에서 0, 전체 적분은 1”인 보통 함수는 존재하지 않기 때문이다. 그래서 distribution은 이런 질문에 답하기 위해 등장한다. 함수는 아니지만, 적분 안에서는 함수처럼 작동하는 대상을 어떻게 엄밀하게 다룰 것인가?

 

2. Distribution의 핵심 아이디어

distribution은 어떤 대상을 직접 값으로 보는 대신, 테스트 함수에 작용하는 선형 함수로 본다. 즉, 함수 $f$를 직접 보는 대신 다음 대응을 본다.

 

$\displaystyle \varphi \mapsto \int_{\mathbb{R}} f(x)\varphi(x)\,dx$

 

여기서 $\varphi$는 보통 compact support를 가지는 smooth function이다. 즉,

 

$\displaystyle \varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R})$

 

이다. 이제 함수 $f$는 테스트 함수 $\varphi$를 입력받아 숫자를 출력하는 하나의 함수처럼 볼 수 있다.

 

$\displaystyle T_f(\varphi)=\int_{\mathbb{R}} f(x)\varphi(x)\,dx$

 

이 $T_f$를 $f$가 만드는 distribution이라고 한다.

 

2.1 왜 compact support가 필요했는가?

테스트 함수 $\varphi$가 compact support를 가지면 적분이 안전해진다. 예를 들어 $f$가 아주 거칠거나 무한히 커지는 함수여도, $\varphi$가 어느 한정된 구간 밖에서는 0이므로 적분을 국소적으로만 보면 된다. 그래서 distribution 이론은 기본적으로 다음 공간 위에서 시작한다.

 

$\displaystyle C_c^\infty(\Omega)$

 

즉, 열린집합 $\Omega$ 안에서 정의된, 무한히 미분 가능하고 compact support를 가지는 함수들의 공간.

 

3. Distribution의 정의

열린집합 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$에 대해, distribution은

 

$\displaystyle C_c^\infty(\Omega)$

 

위의 연속 선형 함수이다. 즉, distribution $T$는 테스트 함수 $\varphi$에 대해 숫자 $T(\varphi)$를 대응시키는 대상이다.

보통 다음처럼 쓴다.

 

$\displaystyle \langle T,\varphi\rangle$

 

따라서

 

$\displaystyle T : C_c^\infty(\Omega) \to \mathbb{R}$

 

또는 복소수 값을 허용하면

 

$\displaystyle T : C_c^\infty(\Omega) \to \mathbb{C}$

 

이다.

 

4. 함수는 distribution이 된다

국소적분가능 함수 $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$가 있으면, 다음과 같이 distribution을 만든다.

 

$\displaystyle \langle T_f,\varphi\rangle = \int_{\Omega} f(x)\varphi(x)\,dx$

 

이때 $T_f$를 보통 그냥 $f$라고 쓰기도 한다. 즉, distribution 이론에서는 함수 $f$를 다음과 같이 바라본다.

 

$\displaystyle f \quad \leadsto \quad \left(\varphi \mapsto \int f\varphi\right)$

 

이 관점이 정말 중요하다. 고전적 해석학에서는 함수가 먼저 있고 적분은 나중에 있다. 그런데 distribution 이론에서는 오히려

함수의 의미를 “테스트 함수와 적분했을 때 어떤 값을 주는가”로 본다.

 

5. Dirac delta

가장 중요한 예시는 Dirac delta다.

 

$\displaystyle \delta_0$

 

는 다음과 같이 정의된다.

 

$\displaystyle \langle \delta_0,\varphi\rangle = \varphi(0)$

 

즉, $\delta_0$는 테스트 함수 $\varphi$를 입력받아 그 함수의 0에서의 값을 뽑아낸다. 더 일반적으로,

 

$\displaystyle \langle \delta_a,\varphi\rangle = \varphi(a)$

 

이다. 이것은 일반적인 함수가 아니다. 왜냐하면 어떤 국소적분가능 함수 $f$가 있어서

 

$\displaystyle \int_{\mathbb{R}} f(x)\varphi(x)\,dx=\varphi(0)$

 

를 모든 테스트 함수 $\varphi$에 대해 만족할 수는 없기 때문이다. 하지만 distribution으로는 완벽히 잘 정의된다.

 

6. Distribution의 미분

함수 $f$가 충분히 매끄럽다고 하자. 그러면 부분적분에 의해

 

$\displaystyle \int f'(x)\varphi(x)\,dx = -\int f(x)\varphi'(x)\,dx$

 

이다. 왜 경계항이 사라지냐면 $\varphi$가 compact support를 가지기 때문이다. 즉,

 

$\displaystyle \langle f',\varphi\rangle = -\langle f,\varphi'\rangle$

 

이다. 이제 이 식을 거꾸로 정의로 삼는다. distribution $T$의 미분 $T'$를 다음과 같이 정의한다.

 

$\displaystyle \langle T',\varphi\rangle = -\langle T,\varphi'\rangle$

 

놀라운 점은 $T$가 함수가 아니어도 이 정의가 가능하다는 것이다. 따라서 distribution은 항상 미분 가능하다.

한 번만이 아니라 무한히 많이 미분할 수 있다.

 

7. 쉬운 예제 1: Heaviside 함수의 distributional derivative

다시 Heaviside 함수

 

$\displaystyle H(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x>0 \end{cases}$

 

을 보자. distributional derivative를 계산하자. 정의에 의해

 

$\displaystyle \langle H',\varphi\rangle = -\langle H,\varphi'\rangle$

 

이다. 그런데

 

$\displaystyle \langle H,\varphi'\rangle = \int_{\mathbb{R}}H(x)\varphi'(x)\,dx = \int_0^\infty \varphi'(x)\,dx$

 

이다. $\varphi$는 compact support를 가지므로 충분히 큰 $x$에서는 $\varphi(x)=0$이다. 따라서

 

$\displaystyle \int_0^\infty \varphi'(x)\,dx = \varphi(\infty)-\varphi(0) = 0-\varphi(0) = -\varphi(0)$

 

그러므로

 

$\displaystyle \langle H',\varphi\rangle = -(-\varphi(0)) = \varphi(0)$

 

즉,

 

$\displaystyle H'=\delta_0$

 

이다. 이것이 distribution의 대표적인 성공 사례다. 고전적 의미에서는 $H$가 $0$에서 미분 불가능하지만, distribution 의미에서는 정확히

 

$\displaystyle H'=\delta_0$

 

라고 말할 수 있다.

 

8. 쉬운 예제 2: $|x|$의 두 번째 미분

함수

 

$\displaystyle f(x)=|x|$

 

를 보자. 고전적으로는 $x=0$에서 미분 불가능하다. 하지만 distribution 의미에서는 미분할 수 있다. 먼저 $x\neq 0$에서는

 

$\displaystyle f'(x)= \begin{cases} -1, & x<0,\\ 1, & x>0 \end{cases}$

 

이다. 이 함수는

 

$\displaystyle \operatorname{sgn}(x)$

 

라고 쓴다. 즉,

 

$\displaystyle (|x|)'=\operatorname{sgn}(x)$

 

이다. 이제 한 번 더 미분한다.

 

$\displaystyle \operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} -1, & x<0,\\ 1, & x>0 \end{cases}$

 

이 함수는 0에서 점프 크기가 2이다. 따라서 distributional derivative는

 

$\displaystyle (\operatorname{sgn} x)'=2\delta_0$

 

이다. 따라서

 

$\displaystyle (|x|)''=2\delta_0$

 

이다. 이것은 매우 중요한 예제다. 고전적으로는 $|x|$가 0에서 두 번 미분되기는커녕 한 번도 미분되지 않지만, distribution 의미에서는 두 번째 미분이 Dirac delta로 나타난다.

 

9. 조금 어려운 예제: $\log |x|$와 fundamental solution

2차원에서 Laplace operator를 생각하자.

 

$\displaystyle \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}$

 

2차원에서 다음 함수는 매우 중요하다.

 

$\displaystyle \Phi(x)=\frac{1}{2\pi}\log |x|$

 

이 함수는 $x=0$에서 singularity를 가진다. 고전적으로는 $x=0$에서 Laplacian을 계산할 수 없다. 그런데 distribution 의미에서는

 

$\displaystyle \Delta \Phi = \delta_0$

 

가 된다. 즉,

 

$\displaystyle \Delta\left(\frac{1}{2\pi}\log |x|\right)=\delta_0$

 

이다. 이것은 PDE에서 엄청나게 중요하다. 왜냐하면

 

$\displaystyle \Delta u = f$

 

를 풀 때, $\Phi$를 이용해

 

$\displaystyle u = \Phi * f$

 

처럼 해를 표현할 수 있기 때문이다. 즉 distribution은 단순히 “미분 안 되는 함수도 미분하자”에서 끝나는 게 아니라,

PDE의 fundamental solution을 엄밀하게 다루기 위해 필수적인 언어다.

 

10. 어려운 예제: 충격파와 conservation law

다음 conservation law를 생각하자. 

 

$\displaystyle u_t + f(u)_x = 0$

 

예를 들어 Burgers equation:

 

$\displaystyle u_t + \left(\frac{u^2}{2}\right)_x=0$

 

을 생각할 수 있다. 초기값이 불연속이면 시간이 지나면서 shock이 생긴다. shock이 생긴 뒤에는 $u$가 고전적 의미로 미분 가능하지 않다. 그러면 PDE

 

$\displaystyle u_t + \left(\frac{u^2}{2}\right)_x=0$

 

를 고전적 의미로는 해석하기 어렵다. 하지만 distribution 의미에서는 가능하다. 테스트 함수 $\varphi$를 곱해서 적분하고 부분적분을 하면, 미분을 $u$가 아니라 $\varphi$에게 넘길 수 있다. 즉, 약한 해는 다음 조건을 만족하는 함수로 정의된다.

 

$\displaystyle \int\int \left(u\varphi_t + f(u)\varphi_x\right)\,dxdt + \int u_0(x)\varphi(x,0)\,dx =0$

 

이런 방식으로 불연속적인 shock solution도 PDE의 해로 인정할 수 있다. 이것이 distribution이 PDE와 물리학에서 중요한 이유다.

 

11. Distribution이 해결한 문제 정리

distribution은 다음 문제들을 해결하기 위해 등장했다.

11.1 미분 불가능한 함수의 미분

예:

 

$\displaystyle H'=\delta_0$

 

$\displaystyle (|x|)''=2\delta_0$

 

11.2 함수가 아닌 대상을 함수처럼 다룸

예:

 

$\displaystyle \delta_0$

 

는 함수가 아니지만, distribution으로는 잘 정의된다.

11.3 PDE의 singular source를 표현

예:

 

$\displaystyle -\Delta u=\delta_0$

 

는 “원점에 점전하 또는 점질량이 있는 상황”을 나타낼 수 있다.

11.4 약한 해를 정의

불연속 shock solution이나 boundary condition이 약한 함수공간에서 정의되는 문제를 다룰 수 있다.

11.5 Fourier transform과 미분 연산을 더 넓게 확장

예를 들어 Dirac delta의 Fourier transform도 distribution 의미에서 정의할 수 있다.

 

12. 다른 개념들과의 연결

12.1 Compact support

테스트 함수 $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$가 compact support를 가지기 때문에 부분적분에서 경계항이 사라진다.

이것이 distributional derivative 정의를 가능하게 한다.

12.2 Partition of unity

distribution은 local한 대상이다. 즉, 어떤 열린집합 위에서 정의된 distribution을 작은 열린집합들 위에서 분석하고 다시 붙일 수 있다. 이때 partition of unity가 중요하다. 예를 들어 manifold 위에서 distribution을 정의하려면, 좌표근방에서 정의한 뒤 partition of unity를 이용해 전역적으로 붙인다.

12.3 Weak derivative

weak derivative는 distributional derivative와 거의 같은 아이디어에서 나온다. 함수 $u$의 약미분 $v$는 다음을 만족하는 함수다.

 

$\displaystyle \int u \varphi' = -\int v\varphi$

 

즉,

 

$\displaystyle u'=v$

 

가 distribution 의미에서 성립하는 것이다. 다만 차이가 있다. distributional derivative는 항상 존재한다. 하지만 weak derivative는 그 distributional derivative가 다시 어떤 함수공간, 예를 들어 $L^p$, 안에 들어올 때 말한다. 즉, distributional derivative는 더 넓은 개념이고, weak derivative는 그중 함수로 표현 가능한 경우다.

 

13. 학습 목표

1. 함수 $f$를 distribution $T_f$로 해석할 수 있다.
2. Dirac delta를 테스트 함수에 대한 작용으로 이해할 수 있다.
3. distributional derivative를 정의로 계산할 수 있다.
4. 점프 불연속 함수의 미분에서 delta가 생긴다는 것을 이해할 수 있다.
5. $|x|$, $H$, piecewise function의 distributional derivative를 계산할 수 있다.
6. weak derivative와 distributional derivative의 관계를 설명할 수 있다.
7. PDE에서 fundamental solution과 singular source가 왜 distribution으로 표현되는지 이해할 수 있다.
8. 응용문제에서 어떤 항이 regular part이고 어떤 항이 singular part인지 구분할 수 있다.